Varios rollos de dados (D&D Skill challenge)

Question

En las Mazmorras y Dragones hay algo que se llama una habilidad desafío, que consiste en poner a rodar algunas de dados (no hay sorpresa).

Un ejemplo de una habilidad reto: Habilidad desafío DC 25 robos. Tirar un d20* y añadir sus robos bono (digamos 11) y comprobar si el resultado iguala o sube de 25 tome nota y se vuelve a tirar (la próxima vez).

Tan pronto como usted tiene cinco rollos de menos de 25 no. Tan pronto como usted tiene 2 rollos de más de o igual a 25 de tener éxito en el desafío de habilidad.

¿Cómo puedo calcular las probabilidades de tener éxito en un desafío de habilidad?

Con los números que yo siempre que necesito al menos 14 para que coincida con la DC 25. Eso significa que he a $7/20$ de probabilidades de acertar (o va por encima) de la DC (y $13/20$ para el contrario).

Si sólo tuviera que coincidir con el DC una vez que la matemática sería fácil:
$(13/20)^5$ es la probabilidad de fracasar, por lo $1-(13/20)^5$ es la probabilidad de éxito.

_{* d20 = 20 colindado mueren, numeradas del 1 al 20.}

Answer 1

Una forma equivalente de expresar esto es que el rollo de 6d20 (debido a $6=5+2-1$ es el número de rollos después de que usted definitivamente han tenido éxito o no, y no han hecho ambos), y de tener éxito si al menos dos de ellos son mayores que el número de umbral. Por lo general la probabilidad de fallo es $$p^6 +6 p^5(1-p) \, ,$$ donde $p=13/20$ es la probabilidad de fallar en cualquier roll (el primer término cuenta la probabilidad de incumplimiento de 6 veces, y la segunda la probabilidad de fallar 5 veces y tener éxito una vez).

Así, en el ejemplo concreto, la probabilidad de éxito es $$1-(13/20)^6-6(13/20)^5(7/20) \approx 0.6809 \, .$$

Answer 2

Tratando de generalizar @Micah respuesta.

Si definimos:

• $m$ - número máximo de fallos (originalmente $5$)
• $n$ - número de éxitos (originalmente $2$)
• $p$ - probabilidad de fracasar cualquier rollo (originalmente $13/20$)
• $x = m + n - 1$ - número de rollos después de que te han tenido éxito o no (originalmente $6$)

El general de la probabilidad de fallo puede calculado utilizando este:

$$ \sum_{i=0}^{n-1} \binom{x}{x i} \times p^\left(x-i\right) \times \left(1-p\right)^i $$

---

_{$s$ es la probabilidad de éxito.}

Ejemplo 1

Dado $m = 5$, $n = 1$ y $p = 13/20$

tenemos $$ x=5 \\ s = 1 - \left( 1 \times \left( 13/20 \right)^5 \times \left (1 - \left( 13/20 \right) \right)^0 \right) $$

Ejemplo 2

Dado $ m = 5$, $n = 2$ y $p = 13/20$

tenemos $$ x=6 \\ s = 1 - \left( 1 \times \left( 13/20 \right)^6 \times \left (1 - \left( 13/20 \right) \right)^0 + 6 \times \left( 13/20 \right)^5 \times \left (1 - \left( 13/20 \right) \right)^1 \right) $$

Ejemplo 3

Dado $m = 5$, $n = 3$ y $p = 13/20$

tenemos $$ x=7 \\ s = 1 - \\ \izquierdo( \\ 1 \times \left( 13/20 \right)^7 \times \left (1 - \left( 13/20 \right) \right)^0 + \\ 7 \times \left( 13/20 \right)^6 \times \left (1 - \left( 13/20 \right) \right)^1 + \\ 21 \times \left( 13/20 \right)^5 \times \left (1 - \left( 13/20 \right) \right)^2 \right) $$