Es $C^{\infty}([0,1])$ un espacio de Banach?

Question

He leído que la respuesta es no, pero soy incapaz de demostrarlo.

Dar $C^{\infty}([0,1])$ la métrica $$d(f,g) = \sum_{j=0}^{\infty} 2^{-j} \frac{||(f-g)^{(j)}||}{1 + ||(f-g)^{(j)}||}$$ associated to the collection of seminorms $||f^{(j)}||$, the sup-norm of the $j$-th derivative. This makes $C^{\infty}([0,1])$ en un espacio métrico.

¿Cómo se puede mostrar que el espacio vectorial topológico $C^{\infty}([0,1])$ no es un espacio de Banach? Es decir, no existe una norma que induce a la misma topología.

No parece ser suficiente para demostrar simplemente que la métrica no surgir de una norma, ya que es muy no-canónico.

Answer 1

Consejos: 1)no Hay ninguna norma en en $C^{\infty}[0,1]$, lo que hace que la derivada continua. Esto es porque, $||\frac{d}{dx}(e^{nx})|| \leq c||e^{nx}||$ para todos los valores de $n$ no es posible.

2) Muestran que en el anterior métrica de la derivada mapa es continua.