Si la parte superior Stiefel-Whitney clase de un compacto de colector es nonzer0, debe haber otra no desapareciendo Stiefel-Whitney clase?

Question

Yo estaba tratando de recoger algunos ejemplos de Stiefel-Whitney clase de cálculos, sólo para mí mismo más familiarizados con ellos. Parece que de mi (lista relativamente corta) que si la parte superior Stiefel-Whitney clase es distinto de cero, no debe ser otro distinto de cero de la clase.

Recordemos que, al menos para los orientados a los colectores, la parte superior Stiefel-Whitney de la clase es el mod 2 reducción de la clase de Euler, que es precisamente la característica de Euler veces la clase fundamental. Así, la parte superior Stiefel-Whitney clase es nonvanishing iff la característica de Euler es impar.

Supongamos $M$ es una compacta orientable suave colector con los no-desaparición de la parte superior Stiefel-Whitney de la clase. Debe haber otra que no sea trivial Stiefel-Whitney clase?

Aquí están algunos de los puntos de datos:

1. Un no-orientable colector ha nonvanishing $w_1$, así que la respuesta es SÍ para los no-orientable colectores.

2. Como se ha demostrado en Milnor-Stasheff, la primera nonvanishing Stiefel-Whitney de la clase siempre se produce en la dimensión dada por una potencia de $2$. Así, la respuesta es SÍ si la dimensión del colector es no un poder de $2$.

3. En la dimensión $1$, la respuesta es SÍ: todos los colectores son orientables para que la parte superior de la clase se desvanece. En la dimensión 2, la respuesta es SÍ. Para, si $w_2\neq 0$, $M$ debe tener la extraña característica de Euler, lo que implica que no es orientable.

4. En la dimensión 4, la respuesta es SÍ: Si la característica de Euler es extraño, entonces, a través de la dualidad de Poincaré, esto implica la segunda Betti número es impar. Nonsingularity de la copa del producto de fuerzas que hay un elemento en $H^2$ que las tazas de sí mismo para ser un generador de $H^4$. En particular, los asociados quadractic forma $H^2\rightarrow H^4$ es no aún, por lo $w_2$ es nonvanishing.

5. si $M$ es un espacios proyectivos, la respuesta es SÍ. Para, $\mathbb{R}P^n$, orientability implica $w_n = 0$. Para $\mathbb{C}P^n$, $w_{2n}\neq 0$ iff $w_2\neq 0$, y para $\mathbb{H}P^n$, $w_{4n}\neq 0$ iff $w_4\neq 0$. Para $\mathbb{O}P^2$, $w_8\neq 0$.

Así que, si hay contraejemplos, que son, al menos, $8$ dimensiones.

Hay un $8$ dimensiones compactas suave colector para que $w_8\neq 0$ pero $w_1 = w_2 = ... =w_7 = 0$? Es simplemente conectado ejemplo?

Answer 1

Como lo que yo puedo decir, el argumento que se dio para $n=4$ funciona bien para todas las dimensiones,$n = 4k$. En particular, esto nos dice que la primera nonvanishing $w_j$$j \leq 2k$; por lo que no 12-dimensiones de los colectores cuya primera nonvashing Steifel-Whiteny clase es $w_8$.

Supongamos $w_n \neq 0$, e $w_j = 0$ todos los $j < n/2$. Como antes, la dualidad de Poincaré y la suposición de que $w_n \neq 0$ fuerzas de $b_{n/2}$ a un ser extraño. Porque la asunción de nuestra, $w_{n/2} = v_{n/2}$, el Wu de la clase, y esto es igual a cero si y sólo si la intersección de la forma $H^{n/2} \otimes H^{n/2} \to \Bbb Z/2\Bbb Z$ es incluso. Pero como antes, porque esta intersección forma es nonsingular y $H^{n/2}$ es impar-dimensional, esto es imposible.

(Concretamente a ver por qué, recordar que cualquier forma bilineal $q$ $\Bbb Z$ tiene un elemento característico $c$ $q(c,x) \equiv q(x,x)\mod 2$ todos los $x$; esto, por supuesto, reduce en nuestro caso a la Wu clase $v_{n/2}$. Tenemos el teorema: $q(c,c) \equiv \text{sign}(q) \mod 8$. Debido a $H^{n/2}$ es impar-dimensional, esto tiene que ser impar; y, en particular, $v_{n/2} \cup v_{n/2} \neq 0$, y por lo $v_{n/2} \neq 0$.)