Duda sobre un Kunen la prueba de ($V=L \rightarrow \diamondsuit^+$)

Question

Estoy estudiando la teoría de conjuntos mediante Kunen de la "Teoría de conjuntos: Una introducción a la Independencia de las Pruebas" y yo estoy atrapado en una línea de la demostración del teorema 5.2 del capítulo 6 ($V=L \rightarrow \diamondsuit^+$) en la página 179. No puedo entender por qué $C\cap\alpha=\{\beta<\alpha:\beta=cl^1(\beta\cup\{A\cap\alpha\})\cap\alpha\}$. Creo $cl^1(G(\beta \cup \{A\cap\alpha\}))=cl(\beta \cup \{A\cap\alpha\})$, pero no estoy seguro. Alguien me puede ayudar?

Ps: yo entendí toda la prueba, pero esta frase.

Answer 1

Primero, un poco de contexto:

$K_{nm}:L(\omega_2)^n\rightarrow L(\omega_2)$ es una función de Skolem para el $m$th fórmula en la numeración de Gödel. Tenemos que $M=L(\delta)$ algunos $\delta<\omega_1$.

Corregir algunos contable $A\subseteq\omega_1$. Deje $\alpha<\omega_1$ ser tal que $\alpha=cl(\alpha\cup \{A\});$ bajo la Skolem funciones anteriores. A continuación,$(Y,\in)\preceq (L(\omega_2),\in)$, por lo que, en particular,$\omega_1\in Y$, e $\in$ es extensional en $Y$. Entonces si $G$ es el colapso de Mostowski $Y$ en algunos transitiva conjunto $M$, $G$ es un isomorfismo; aviso de que $G(A)=A\cap\alpha$. Por lo tanto $M\vDash\mathsf{ZF-P+V=L},$, en consecuencia, $M=L(\delta)$ algunos $\delta<\omega_1$. Definir $K_{nm}^1:L(\delta)^n\rightarrow L(\delta)$ $$K_{nm}(G(y_1),\ldots,G(y_n))=G(K_{nm}(y_1,\ldots,y_n)).$$

Hemos hecho ese $K_{nm}^1[L(\delta)^n]\subseteq L(\delta);$ $Y$ es cerrado bajo las $K_{nm}$ y para todos $x\in Y$, $(x,y)\in K_{nm}$ si y sólo si $(G(x),G(y))\in K_{nm}^1$, debido a la definición de $K_{nm}^1$ y desde $G$ es un isomorfismo.

Veamos $G(cl(\beta\cup\{A\}))=cl^1(\beta\cup\{A\cap\alpha\})$ cualquier $\beta<\alpha$. Deje $H\in Y$, $G(K_{nm}[H])=K_{nm}^1[G(H)],$ esto implica $G(cl(H))=cl^1(G(H)).$ Pero $G(\beta)=\beta$ $\beta<\alpha$, $G(A)=A\cap\alpha$, y $G(\omega_1)=\alpha$, lo que $$C\cap\alpha=\{\beta<\alpha:\beta=cl^1(\beta\cup\{A\cap\alpha\})\cap\alpha\},$$ where $$C=\{\beta<\omega_1:\beta=cl(\beta\cup\{A\})\cap\omega_1\}.$$

Answer 2

En primer lugar, nos muestran que la $\forall y \in Y( y \in cl(\beta \cap\{A\}) \Leftrightarrow G(y) \in cl^1(\beta \cup \{A \cap\alpha\})$.

$\Rightarrow$: Sabemos que $$cl(\beta \cap\{A\})=\bigcup_{n \in \omega}C_n$$ Donde$C_0=\beta \cap {A}$$C_{k+1}=C_k\cup\{K_{nm}*C_k:n,m \in \omega \}$. Por inducción, nos muestran que la $y \in C_n \Rightarrow G(y) \in cl^1(\beta \cup \{A \cap\alpha\})$.

Paso 0: Desde $G(\xi)=\xi$ todos los $\xi \in \beta$$G(A)=A\cap\alpha$, la tesis que se sostiene.

Sucesor paso: Supongamos que la tesis tiene por $C_k$. Supongamos $\xi_1, ..., \xi_n \in C_k$. Desde $K_{nm}^1(G(\xi_1), ..., G(\xi_n))=G(K_{nm}(\xi_1, ..., \xi_n))$, la tesis tiene por $C_{k+1}$.

$\Leftarrow$ es probada por una análoga argumento.

$\\$

Ahora queremos demostrar que las $\beta \in C\cap \alpha \Leftrightarrow \beta=cl^1(\beta\cup\{A \cap \alpha\})\cap\alpha$. Vamos a mostrar sólo el $\Rightarrow$ dirección, ya que el otro es análogo.

Supongamos $\beta=cl(\beta\cup\{A\})\cap\omega_1$$\beta\in\alpha$. Es fácil ver que $\beta\subset cl^1(\beta\cup\{A \cap \alpha\})$, por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es demostrar que $ cl^1(\beta\cup\{A \cap \alpha\})\subset \beta$. Desde antes, escribimos $$cl^1(\beta\cup\{A \cap \alpha\})=\bigcup_{n<\omega}C_n$$ Donde$C_0=\beta\cup\{A\cap\alpha\}$$C_{k+1}=C_k\cup\{K_{nm}^1*C_k: n, m \in \omega\}$. De nuevo, por inducción, nos muestran que la $C_k \cap \alpha \subset \beta$, lo que completa la prueba.

Paso 0: Desde $\beta\cap\alpha=\beta\subset \beta$, todo lo que tenemos que hacer es demostrar que el si $A\cap\alpha\in\alpha$$A \cap \alpha \in \beta$. Esto es, debido a $A\cap \alpha \in \alpha \Leftrightarrow G(A)\in G(\omega_1) \Leftrightarrow A \in\omega_1$ implica que el $A \in \beta$, por la hipótesis, por lo tanto,$G(A)\in G(\beta) \Rightarrow A\cap\alpha \in \beta$.

Sucesor paso: Supongamos $C_k \cap \alpha \subset \beta$. Tenemos que mostrar que $\{K_{nm}^1*C_k: n, m \in \omega\}\cap \alpha \subset \beta$, que se mantiene desde entonces, la fijación de $G(\xi_1), ..., G(\xi_n) \in C_k$ tal que $K_{nm}^1(G(\xi_1), ..., G(\xi_n))=G(K_{nm}(\xi_1, ..., \xi_n))\in \alpha$ implica $K_{nm}(\xi_1, ..., \xi_n) \in \omega_1$, y por el precceding lema, ya $G(\xi_1), ..., G(\xi_n) \in cl^1(\beta \cup \{A \cap\alpha\})$,$\xi_1, ..., \xi_n \in cl(\beta \cap\{A\})$, y, por lo tanto, $K_{nm}(\xi_1, ..., \xi_n) \in cl(\beta \cap\{A\}) \cap \omega_1=\beta$, y ahora se sigue desde el isomorfismo que $K_{nm}^1(G(\xi_1), ..., G(\xi_n))=G(K_{nm}(\xi_1, ..., \xi_n))\in \beta$.