Smart demostración de la fórmula: $ \sum_{n=1} ^{N} \frac{n}{2^n} = \frac{-N + 2^{N+1}-2}{2^n}$

Question

Alguien me podría dar una elegante y solución simple para mostrar las siguientes opciones de identidad?

$$ \sum_{n=1} ^{N} \frac{n}{2^n} = \frac{-N + 2^{N+1}-2}{2^n}$$

Answer 1

Consulte la siguiente respuesta: ¿Cómo puedo evaluar $\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n$.

Podemos utilizar una técnica similar a la suma de la serie geométrica $\sum_{n=1}^k r^n.$ Vamos $$S_{m}=\sum_{n=1}^{m}nr^{n},$$ and consider $$S_{m}-rS_{m}=-mr^{m+1}+\sum_{n=1}^{m}r^{n}.$$ Using our known formula for the geometric series, we find that $$S_m = \frac{mr^{m+2}-(m+1)r^{m+1}+r}{(1-r)^2}.$$
Esta igualdad se cumple para cualquier $r\neq 1$, por lo que la inserción $r=\frac{1}{2}$ tenemos que $$\sum_{n=1}^N \frac{n}{2^n}=\frac{2^N+1-N+2}{2^N}$$

Answer 2

$$\eqalign{\sum_{n=1}^N n r^n &= r \dfrac{d}{dr} \sum_{n=0}^n r^N \cr &= r \dfrac{d}{dr} \dfrac{1 - r^{N+1}}{1-r}\cr &= r \dfrac{-(N+1) r^N (1-r) + (1 - r^{N+1})}{(1 - r)^2}\cr}$$

Answer 3

Proceder por inducción.

El caso Base es verdad con $N=1$.

Inductivo (que sustituyó a la suma real con $\sum$): $$ \frac{N+1}{2^{N+1}} + \sum^N = \sum^{N+1} $$ $$ \frac{N+1}{2^{N+1}} + \frac{-N+2^{N+1}-2}{2^N} = \frac{-(N+1) + 2^{N+2}-2}{2^{N+1}} $$ $$ \frac{N + 1 - 2N + 2^{N+2} - 4}{2^{N+1}} = \frac{-N-3+2^{N+2}}{2^{N+1}} $$ $$ \frac{- N - 3 + 2^{N+2}}{2^{N+1}} = \frac{-N-3+2^{N+2}}{2^{N+1}} $$

Lo cual es cierto, por lo que la suma es cierto. Esta es una buena manera general para demostrar la suma de las fórmulas.

Answer 4

Este otro método que se muestra como una forma de utilizar la Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros de la base de datos para ayudar a construir una solución. Si usted toma la siguiente a partir de la fórmula de sumación de $$n=(1)=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2^1}$$ $$n=(2)=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}=\frac{4}{2^2}$$ $$n=(3)=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}=\frac{11}{2^3}$$ $$n=(4)=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}=\frac{26}{2^4}$$ Nota la secuencia en la que el numerador. Ir a OEIS y escriba la secuencia de $1,4,11,26$ Esto te llevará a la secuencia de A000295 Esta secuencia da la fórmula $$a(n)=2^n - n - 1$$ However this sequence and formula happen to have a different offset (the subscript of the first term in the sequence) than the formula given by the OP. [A000295] is the following sequence $0,1,4,11,26...$ and we want $1,4,11,26...$. Taking the difference between these two sequences gives another sequence $1,3,7,15,31,...$. Enter this sequence in [OEIS] and it will take you to A000225. You will see that the formula for this sequence is $$2^n-1$$ Adding the formulas for [A000295] $2^n-n-1$ plus [A000225] $2^n-1$ give the desired formula for the numerator of $$2^{n+1}-n-2$$ es obvio que la suma de la secuencia 0,1,4,11,26 y 1,3,7,15,31 da la secuencia deseada de 1,4,11,26,... con desplazamiento de 1. Para desarrollar la fórmula de usted nota que la página de [A00295] también se da la generación de la función de la serie de $$\frac{x^2}{(1-2x)(1-x)^2}$$ a partir de la cual la fórmula de Binet pueden ser creadas usando fracciones parciales de la siguiente manera $$\frac{x^2}{(1-2x)(1-x)^2}=\frac{A}{(1-2x)}+\frac{B}{(1-x)}+\frac{C}{(1-x)^2}$$

Terminamos con $$A(1-2x+x^2)+B(1-3x+2x^2)+C(1-2x)$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\[0.3em] -2 & -3 & -2&0 \\[0.3em] 1&2&0&1 \end{bmatrix} La solución de la matriz obtenemos $A=1, B=0, C=-1$ $$\eqalign{\sum_{n=0}^N 2^n x^n}+0\eqalign{\sum_{n=0}^N n x^n}-\eqalign{\sum_{n=0}^N (n+1) x^n}$$ yielding $2^{n+1}-n-1$ O usted puede desarrollar la generación de la función de la relación de recurrencia para esta secuencia. La misma cosa se puede hacer con la serie A00225 La página de [A00225] también se da la generación de la función de la serie de $$\frac{x} {(1-2x)(1-x)}$$ de que la fórmula de Binet pueden ser creadas usando fracciones parciales de la siguiente manera $$\frac{x}{(1-2x)(1-x)}=\frac{A}{(1-2x)}+\frac{B}{(1-x)}$$

Terminamos con $$A(1-x)+B(1-2x)$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\[0.3em] -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} La solución de la matriz obtenemos $A=1, B=-1$ $$\eqalign{\sum_{n=0}^N 2^n x^n}-\eqalign{\sum_{n=0}^N 1^n x^n}$$ yielding $2^n-1$. Por lo $$\frac{(2^n-n-1)+(2^n-1)}{2^n}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}$$