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Números complejos

Hola me preguntaba si alguien me podría ayudar? Estoy luchando para encontrar las raíces del polinomio

$z^4+2z+3=0$

No es una ecuación cuadrática, así que no puede usar la fórmula cuadrática por lo que no estoy muy seguro de qué hacer. Lo que normalmente es una buena manera de hacer frente a complejos polinomios de esta forma?

Gracias por tu ayuda.

Editar: Necesitaba de sus raíces para responder a la pregunta 67(f), pero parece que sería muy difícil encontrar la reisudes de esas singularidades. Supongo que puede haber habido un error en la pregunta, y que significaba $x^2$:enter image description here

Así que quería una forma de hacerlo sin usar wolfram alpha

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Shinwari Puntos 11

Aquí es un poco aseado truco que me robó algunos cap denominado Ferrari. Funciona para todas las ecuaciones de la forma $x^4 + ax^2 + bx + c = 0$, con la única diferencia de ser una de completar-de-la-plaza en el primer paso. Ver aquí para una referencia (elegí este vínculo, porque la historia es casi tan interesante como el de las matemáticas!).

$$ \begin{align*} z^4+2z+3&=0\\ \Rightarrow (z^2)^2&=-2z-3\\ \Rightarrow (z^2+y)^2&=-2z-3+2yz^2 + y^2&\forall\: y\\ &=(2y)z^2 - 2z + (- 3 + y^2) \end{align*} $$

Ahora el lado derecho es una ecuación cuadrática en $z$ y podemos elegir el $y$, de modo que el lado derecho tiene la forma $(\alpha z+\beta)^2$. Por lo tanto, tomar el todopoderoso fórmula y se estipula que $b^2-4ac=0$: $$\begin{align*} (-2)^2 -4(2y)(- 3 + y^2) &= 0\\ \Rightarrow4 + 24y - 8y^3 &= 0 \\ \Rightarrow1 + 6y - 2y^3 &= 0 \end{align*} $$ Este es un cúbicos en $y$, lo que nos puede solucionar$^{\dagger}$. Tenemos $y=-1.6418$, $y=-0.16825$ y $y=1.8100$. Estos valores, a continuación, significa que usted tiene la siguiente fórmula, donde $\alpha$ $\beta$ son los números depende de nuestro valor de $y$. $$ \begin{align*} (z^2+y)^2&=(\alpha z+\beta)^2\\ \Rightarrow z^2+y&=\alpha z+\beta \end{align*} $$ Resolver, como de costumbre.


$^{\dagger}$ Está bien, lo admito, lo he hecho poco uso de Wolfram-Alpha...pero se puede hacer a mano, y no es demasiado difícil. Sólo estoy haciendo tarde para mi té...

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hcartiaux Puntos 21

Aquí es un intento de crazy:

Si escribes la ecuación de

$(z^2)^2 + 2z + 3 = 0$,

y te comportas como si fuera un % polinomio cuadrático $p(z)$, es decir, usar la fórmula para ecuaciones cuadráticas, se conseguiría que

$$z = \dfrac{-1 + \sqrt{1-3z^2}}{z^2}$$ $$z = \dfrac{-1 - \sqrt{1-3z^2}}{z^2}$$

Ahora, si lo solucionas $z$ en estas ecuaciones obtendrá las soluciones de la ecuación original.

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