La continuidad criterios lineales, mapas entre espacios de Banach?

Question

Acabo de hacer un ejercicio, indicando: Demostrar que el lineal mapa de $M: X \rightarrow C([0,1])$, es continua si para cada a $t\in[0,1]$, la regla de $x\rightarrow (Mx)(t)$ define una funcional lineal continua en X. el siguiente ejercicio declaró: Estado, y demostrar una continuidad similar criterio lineal mapas de $M:X\rightarrow Y$ donde Y es cualquier espacio de Banach.

¿Hay algún teorema que establece que $M$ es continua iff $x\mapsto \ell(Mx)$ es continua para todos los funcionales lineales $\ell:Y\rightarrow \mathbb{K}$$Y'$? o, ¿qué significa?

He publicado una nueva oportunidad a una prueba, por favor alguien puede confirmar o post del otro?

Answer 1

Su respuesta parece estar dando vueltas alrededor de las ideas correctas, pero no estoy seguro de si se están utilizando de la manera correcta.

Fix $x\in X$. Considerar el mapa de $T_x:Y'\to\mathbb K$, dado por $T_x(\ell)=\ell(Mx)$. Tenga en cuenta que $$ \|T_x\|=\sup\{|T_x(\ell)|:\ \|\ell\|=1\}=\sup\{|\ell(Mx)|:\ \|\ell\|=1\}=\|Mx\| $$ donde la última igualdad es un clásico de la aplicación de la de Hahn-Banach Teorema.

Ahora aplique el Uniforme de Acotamiento Teorema sobre la unidad de la bola de $X$ (así que tenemos $X$ a ser de Banach): por un determinado $\ell$, $$ \sup\{|T_x(\ell)|:\ \|x\|\leq1\}=\sup\{|\ell(Mx)|:\ \|x\|\leq1\}=\|\ell\circ M\|<\infty. $$ Por la UBP, existe $c>0$ tal que $\|T_x\|\leq c$ todos los $x$$\|x\|\leq1$. Así $$ \|Mx\|=\|T_x\|\leq c,\ \text{ si }\|x\|\leq1. $$ Por lo $M$ está delimitado, en el que la unidad de la bola, y por lo tanto es continua.

Answer 2

Los operadores de $\ell:\: X \rightarrow Y$ son no lineales funcionales. Piense acerca de cómo el lineal funcionales donde definido en el ejemplo de $Y = C([0,1])$ como una composición de algo con $M$ y tratar de generalizar. El uso de la representación de la norma en $X$ a través de funcionales lineales, y el uniforme de acotamiento principio para probar la declaración.

Answer 3

El mapa de $x\mapsto \hat{\ell}(Mx)$ es lineal en el mapa de $\ell \colon X \mapsto \mathbb{K}$. Por la continuidad de $\hat{\ell}$ y uniformados acotamiento tenemos $\sup_{\ell} \|\ell\| = c$.

\begin{equation} \begin{split} \|M\| =& \sup_{\|x\| = 1} \|Mx\| = \sup_{\|\hat{\ell}\| \leq 1}\sup_{\|x\| = 1} \|\hat{\ell}(Mx)\| \leq \sup_{\hat{\ell}} \sup_{\|x\| = 1} \|\hat{\ell}(Mx)\| \\ =& \sup_{\ell , \|x\| = 1} \|\ell x\| \leq \|\ell\|= c \end{split} \end{equation} Es esto correcto?