Demostrar por inducción matemática que $n^3 - n$ es divisible por $3$ para todo número natural $n$

Question

Estoy trabajando en una tarea en la que no estoy seguro de que la respuesta que tengo sea correcta.

Esta es la tarea:

Demuestre por inducción que la siguiente afirmación es cierta para todos los números naturales naturales $n$

$n^3 - n$ es divisible por $3$

Esta es mi respuesta:

Para $n = 1$ ,
$n^3 - n = 1 - 1$ que es divisible por $3$

Supongamos que la afirmación es verdadera para algún número $n$ Es decir, $n^3 - n$ es divisible por $3$ . Ahora,

$(n + 1)^3 - (n + 1) = n^3 + 3n^3 + 3n + 1 - n - 1 = (n^3 - n) + 3(n^2 + n)$

que es $n^3 - n$ más un múltiplo de $3$ .

Dado que asumimos que $n^3 - n$ era un múltiplo de $3$ se deduce que $(n + 1)^3 - (n + 1)$ también es un múltiplo de $3$ .

Por lo tanto, ya que la declaración " $n^3 - n$ es divisible por $3$ "es cierto para $n = 1$ y su verdad para $n$ implica su verdad para $n + 1$ la afirmación es verdadera para todos los números enteros $n$ .

Agradecería que alguien pudiera repasar la tarea y la respuesta y ver si lo he hecho correctamente.

¡Muchas gracias!

Answer 1

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$

$$ \pars{n + 1}^{3} - \pars{n + 1} = \pars{n^{3} - n} + 3n\pars{n + 1} $$