$a_{n+1}=|a_n|-a_{n-1} \implies a_n \; \text{is periodic}$

Question

Demostrar que cualquier secuencia de números reales que satisfaga $a_{n+1}=|a_n|-a_{n-1}$ es periódica.

Aunque parece sencillo, no puedo probar esta afirmación...

Intenté reescribir los primeros términos de la secuencia, pero no apareció nada interesante...

Me interesaría sobre todo que me dieran pistas para esto.

Answer 1

Puedes manejar el problema de esta manera. Supongamos que $a_0=a$ y $a_1=b$ .

El comportamiento de la secuencia depende siempre de la pertenencia de $(a,b)$ a uno de los nueve conos representados a continuación. Suponiendo, por ejemplo, que empezamos con $(a,b)$ en el primer cono ( $a\geq 0,a\leq b\leq 2a$ ), la secuencia es: $$ a,b,b-a,-a,2a-b,3a-b,a,b-2a,a-b,a,b,b-a,\ldots\tag{2}$$ y el período es $9$ . A mano, sólo tenemos que comprobar que esto sucede para cualquier posible cono de partida. O ser más inteligentes. Así es como las regiones del $(a,b)$ -plano se mapean uno dentro de otro:

Partiendo de cualquier punto, volvemos a ese punto en $9$ pasos. Para decirlo con elegancia, el mapa $$\phi:(a,b)\to(b,|b|-a)$$ envía el $n$ -cono representado en el $n+1$ -th (el $9$ en la primera) con una biyección. Como la órbita de un punto del primer cono es cerrada, la órbita de cualquier punto es cerrada, y su cardinalidad es nueve.

Answer 2

Una vez que se adivina que si $2a \ge b \ge a$ la secuencia es $a,b,b-a,-a,2a-b,3a-b,a,b-2a,a-b,\ldots$ y que esta secuencia debe cubrir todos los casos posibles,

puedes traducir la condición $2a \ge b \ge a $ a los otros ocho pares de números y deberías obtener un recubrimiento del plano

Por ejemplo, si haces un paso y dejas $a' = b, b' = b-a$ la condición se convierte en $2a'-2b' \ge a' \ge a'-b'$ para que $a' \ge 2b' \ge 0$ . Así que esto te da una nueva región del plano donde sabes que la secuencia será $9$ -periódico porque es un desplazamiento del ejemplo original.

Para completar, aquí están los $9$ regiones, en orden :

$2a \ge b \ge a \\ a \ge 2b \ge 0 \\ a \ge 0 \ge a+b\\ b \ge 0 \ge a+b \\ b \ge 2a \ge 0 \\ 2b \ge a \ge b \\ a+b \ge 0 \ge b \\ 0 \ge a,b \\ a+b \ge 0 \ge a $

Estos forman una cobertura del plano, por lo que la plantilla que utilizamos al principio cubre todas las secuencias posibles.