Cada auto-inversa de la matriz diagonalizable?

Question

Si $A=A^{-1}$, hay siempre una matriz C tal que $C^{-1}AC$ es una diagonal de la matriz (que contiene sólo -1 y 1 en la diagonal principal) ?

¿Cómo puedo comprobar con PARI/GP, si una matriz es diagonalizable ?

Sólo he encontrado que $A=A^{-1}$ implica $C^{-1}AC=(C^{-1}AC)^{-1}$ para cualquier invertible C, pero esto no responde a mi pregunta.

Pregunta adicional : Si tiene Un número entero de participaciones, que hay siempre una matriz C con Los valores ENTEROS tales que $C^{-1}AC$ es un diagoal matriz y $C^{-1}$ también ha entero
los valores ? Por ejemplo, no he podido encontrar dicha matriz para Un = [ [11,-16,-4] [9,-13,-3] [-6,8,1] ] sin embargo.

Answer 1

Puede reescribir esa condición como $A^2 = I_2$. Por lo tanto, $A$ es una raíz de $X^2 - 1$.

• Caso 1: la característica de la base es de campo no $2$ (por ejemplo $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$...), a continuación, este polinomio se divide con una simple raíces, por lo $A$ es diagonalizable. Los autovalores será raíces de $X^2 - 1$, por lo que, de hecho, sólo ser $1$ o $-1$.
• Caso 2: la característica es $2$. A continuación, $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)^2 = I_2$ es un contraejemplo.

Answer 2

$A$ es una raíz del polinomio $f = x^{2} -1$, que tiene distintas raíces. Por lo tanto su polinomio mínimo, el cual se divide $f$, tiene distintas raíces. De ello se desprende que $A$ es diagonalizable.

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Esto supone que $1 \ne -1$. es decir, la característica del campo subyacente no es $2$. En el carácter $2$, la matriz de $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ satisface $A = A^{-1}$, pero es que no diagonalizable.

Answer 3

Sugerencia: en este caso, $$ Un\times a=I\implica que P(a) = 0, \\P = (X-1)(X+1) $$

Supongo que $1+1\neq 0$. En ese caso, $X\pm 1$ son de diferentes factores.

Algunos teorema (Déjame des noyaux en francés, ¿alguien sabe el término en inglés?) los estados de la segunda desigualdad en: $$E = \ker P(A) =\ker (A-I) \oplus \ker (A+I)$$

Answer 4

Respuesta a la segunda pregunta: "matrank(mateigen(a)) = matsize(a)[1]", si usted sabe que la matriz es cuadrada. Si no, anexar "= matsize(a)[2]"