La comparación de las probabilidades de sacar un $12$ o dos días consecutivos de $7$'s primero con un par de dados

Question

Un par de dados hecho rodar repetidamente cuyo caso es más probable que ocurra primero?

Evento $A$ ambos dados muestra 6.

Evento $B$ dos rondas consecutivas de dar una suma de 7 cada uno.

Por no resolver, creo que es Un puesto que es más probable que suceda ya que sólo va a rodar una vez más, a continuación, evento B.

Caso de que Una, Así que yo sé que la probabilidad de obtener un 6 en un dado es $\frac{1}{6}$ ya que es de dos, así que será $\frac{1}{36}$

El evento B suma de 7 de cada tirada de dos dados para $\frac{6}{36}$ o $\frac{1}{6}$ pero es dos veces arrojados por lo $\frac{1}{36}$

ESPERAR es IGUAL?! Creo que estoy mal aquí en algún lugar.

Answer 1

Hay $4$ estados de este proceso puede ser en:

S: inicio, o usted acaba de rodar los dados y conseguido un poco de suma distinta de $7$ o $12$;

V: Usted acaba de rodar una primera suma de $7$;

R: Usted acaba de rodar una suma de $12$, de modo de evento $A$ se ha producido;

B: Usted acaba de rodar una segunda vez consecutiva suma de $7$, de modo de evento $B$ se ha producido.

Para completar el experimento, recordar la última vez que usted está en S. a partir De aquí se puede ir S, A, o, S, V, A, o, S, V, B.

En general, si usted está en S (no necesariamente el final del tiempo), $P(S,A)=\frac{1}{36}$, $P(S,V,A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{36}$, $P(S,V,B)=\frac16 \cdot \frac16$.

Por lo tanto, desde la última vez que están en $S$, la probabilidad de llegar a Un es $\frac{P(S,A)+P(S,V,A)}{P(S,A)+P(S,V,A)+P(S,V,B)}$. Esto funciona a $\frac{7}{13}$.

Por lo que la probabilidad de evento $A$ se producen primera es $\frac{7}{13}$; la probabilidad de evento $B$ se producen primera es $\frac{6}{13}$.

Answer 2

Suceso a puede ocurrir en cualquier solo rollo. El evento B es necesario que suceda en dos consecutivos rollos. Si la suma de 7 se produce, el suceso a puede ocurrir en el lanzamiento siguiente.

$P$, la probabilidad de que Un evento se produce antes de que el evento B no está determinada por la simple comparación de las probabilidades de que suceda en los próximos rollos.

El método a utilizar es el uso de la Ley del Total de la Probabilidad y la partición en los eventos de la próxima tirada, $X$: un doble 6, $Y$: una suma de $7$, e $Z$: el resto.

Deje $P_X, P_Y, P_Z$ las probabilidades condicionales de eventos que ocurren antes de que el evento B dado un resultado de $X,Y,Z$ respectivamente.

Como $X$ significa que Un evento ha ocurrido, $P_X =1$. Si $Z$ se produce, los sucesos a y B se convierten en ni más o menos probable, por lo $P_Z=P$.

$$\begin{align} P & = \Pr(X)P_X+\Pr(Y)P_Y+\Pr(Z)P_Z \\[1ex] & = \tfrac 1 {36}+\tfrac 1 6 P_Y + \tfrac{29}{36}P \tag{1} \end{align}$$

Si $Y$ sucede, del mismo modo la creación de particiones en el lanzamiento siguiente nos da:

$$\begin{align} P_Y & = \Pr(X)P_{YX}+\Pr(Y)P_{YY}+\Pr(Z)P_{YZ} \\[1ex] & =\tfrac 1 {36}+\tfrac 1{6}\cdot 0+\tfrac {29}{36}P \tag{2} \end{align}$$

Así pues, tenemos dos ecuaciones simultáneas. A resolverlos.