¿cuál es la homología de grupos algunos cociente del espacio de toro

Question

¿cuál es la homología de grupo para El cociente del espacio de $S^1 \times S^1$ obtenido por la identificación de los puntos en el círculo de la $S1 \times\{x_0\} $ que se diferencian por $\frac{2 \pi}{m}$ rotación y la identificación de los puntos en el círculo de la $\{x_0\} \times S^1 $ que se diferencian por $\frac{2 \pi}{n}$ rotación.

en realidad es el ejercicio 2.2.9.d de hatcher y estoy muy curioso acerca de su homología de grupos.

va a ser impresionante, si usted me puede mostrar una imaginación de este espacio.y la verdad, no sé qué herramientas debe utilizar para calcular la homología de grupos,cellular one,simplicial uno,mayer-vietoris...,por favor me ayude,será genial si me puede dar una orientación o sugerencia,muchas gracias.

Answer 1

Aunque tienes la respuesta por ti mismo, me gustaría escribir una respuesta de resolver el problema con el celular de homología, de manera que alguien que se hace la misma pregunta puede encontrar aquí una respuesta. He resuelto este problema hace unos meses en una Topología Algebraica curso como un ejercicio.

Prueba:

Deje $X = S^1\times S^1/ \sim$ ser el espacio con las identificaciones:

$$(e^{2\pi i/m}z,x_0)\sim (z,x_0)$$

$$(x_0,e^{2\pi i/n}z)\sim (x_0,z)$$

Como @Berci dijo, usted debe imaginar este espacio como una red de $m$ $n$ líneas, es decir, hay $m$ vertical y $n$ horizontal repeticiones:

(ACEPTAR. La imagen no es la mejor, pero es suficiente para inducir una imaginación.)

$X$ se compone de un 0-celular ( $x_0$ $e_1^0$ ), 1 de dos células ($a$ es $e_1^1$, $b$ es $e_2^1$) y una 2-celda (a todos nos es $e_1^2$).

La fijación de mapa identifica $x\in \partial D_1^2$$a^nb^ma^{-n}b^{-m}$.

Esto implica el celular de la cadena de complejos

$$0\to \mathbb{Z}[e_1^2]\overset{\partial_2=0}{\longrightarrow} \mathbb{Z}[a] \oplus\mathbb{Z}[b]\overset{\partial_1=0}{\longrightarrow} \mathbb{Z}[x_0]\to 0.$$

Esto implica

$$H_p(X) = \begin{cases} \mathbb{Z}\mbox{ for } p=0,2 \\ \mathbb{Z}^2\mbox{ for } p=1 \\ 0\mbox{ for } p>2 \end{casos}.$$

De lo contrario, usted puede ver que el espacio $X$ es todavía un Toro (cf. comentario de arriba). No sorprende, entonces, que tenemos la homología grupo de el Toro.