Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin(n^p)$ diverge para todos los $p>0$ . Esto debería ser sencillo pero he estado fallando... Mi último intento es el criterio de Cauchy.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?No sé la respuesta a la pregunta, y creo que es un error en la propia pregunta. He aquí algunas observaciones.
Entonces, ¿cuándo es $\sum_{n \geq 0} \sin (n^p)$ ¿convergente?
- Si $p < -1$ la serie es absolutamente convergente.
Esto se debe a que $\sin (n^p) \sim n^p$ que es el término principal de una serie absolutamente convergente.
- Si $p \in [-1,0]$ La serie diverge a $+ \infty$ .
Si $p \in [-1,0)$ tenemos $\sin (n^p) \sim n^p$ que es positivo y el término principal de una serie divergente. Si $p = 0$ las sumas parciales son $n \sin (1)$ que va hasta el infinito.
- Si $p \in (0,1)$ La serie es divergente.
Tenemos $(n+1)^p - n^p \sim p n^{p-1}$ . Si $n^p \equiv x$ entonces $(n+1)^p - n^p \equiv p x^{1-\frac{1}{p}}$ . En particular, como los pasos son así de pequeños, para alguna constante $C$ para todos $x$ , encontrará un $n$ tal que $n^p$ está a una distancia máxima de $C p x^{1-\frac{1}{p}}$ de $x$ . A continuación, tome $x_k := \pi/2+2\pi k$ esto te da una secuencia creciente de enteros $n_k$ tal que $\lim_{k \to + \infty} \sin (n_k^p) = 1$ .
Dado que la secuencia $(\sin (n^p))_{n \geq 0}$ no converge a $0$ La serie es divergente. Mi mejor estimación es que las sumas parciales oscilarán cada vez más, de modo que las sumas parciales no divergen a $+ \infty$ o $- \infty$ .
- Si $p \geq 1$ es racional: la serie es divergente.
Basta con demostrar que $\sin (n^p)$ no converge a $0$ . Para cualquier $n \geq 0$ escriba:
$$n^p = 2 \pi k_n + \varepsilon_n,$$
donde $k_n$ es un número entero y $\varepsilon_n \in [-\pi, \pi)$ . Desde $p$ es racional, existe un número entero $\lambda \geq 2$ tal que $\lambda^p$ es un número entero. Tenga en cuenta que:
$$(\lambda^m n)^p = 2 \pi k_n \lambda^{mp} + \lambda^{mp} \varepsilon_n.$$
Desde $\pi$ es trascendental, $\varepsilon_n \neq 0$ para todos $n > 0$ . Por lo tanto, puedo encontrar un número entero $m$ tal que $|\lambda^{mp} \varepsilon_n| \in [\lambda^{-p}\pi,\pi]$ para que..:
$$|\sin ((\lambda^m n)^p)| \geq \sin (\lambda^{-p}\pi).$$
Por lo tanto, para cualquier $n>0$ existe $n' \geq n$ tal que $|\sin ((n')^p)| \geq \sin (\lambda^{-p}\pi)$ . Entonces puedo construir recursivamente una secuencia creciente de enteros $(n_k)_{k \geq 0}$ tal que $|\sin (n_k^p)| \geq \sin (\lambda^{-p}\pi)$ para todos $k$ y la secuencia $(\sin (n^p))_{n \geq 0}$ no converge a $0$ .
- En general: No tengo ni idea. Puede haber fenómenos extraños si sintonizamos $p$ (véase, por ejemplo, la constante de Mill para una construcción relacionada).
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A ver si puedes demostrar que hay un número arbitrario de $n$ para lo cual $\sin (n^p) > 1/2$ por ejemplo. Se trata de una conjetura "intuitivamente cierta", pero no puedo demostrarla.
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Ni siquiera estoy convencido de que esto sea cierto... ¿Dónde has encontrado esta pregunta? ¿Hay restricciones adicionales (por ejemplo, "p es un número entero", en cuyo caso creo que tengo una prueba)?
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@D.Thomine En la página 147 de "Análisis Matemático I" de V. A. Zorich, ejercicio 5, pregunta b): "la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin{\dfrac{1}{n^p}}$ converge sólo para $p>1$ ."
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Probablemente sea un error (no tengo el libro a mano, así que no puedo confirmarlo). La pregunta debería decir "Que $p > 0$ . Demostrar que la serie $\sum_{n \geq 0} sin (n^{-p})$ converge si y sólo si $p > 1$ ", en cuyo caso se trata de un ejercicio clásico.
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Conseguí esto de Wolfram, no estoy seguro de cómo probarlo pero podría ayudar: $$\sum_{n=0}^m\sin(n)=\frac{1}{2}\left(\sin(m)-\cot\left(\frac{1}{2}\right)\cos(m)+\cot\left(\frac{1}{2}\right)\right)$$
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Se puede demostrar que la serie es divergente para $p \in [-1,1]$ aunque con métodos diferentes según el signo de $p$ . Creo que tengo un buen argumento para demostrar que diverge para $p < 0$ siempre que $p$ es racional. No tengo ni idea del caso general.
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@D.Thomine Probablemente tengas razón en lo de la errata... Pero creo que en ese caso debería seguir por una prueba completa(o contraejemplo, tal vez, pero aún no he podido encontrar ninguna). ¿Puedes mostrarme cómo te las arreglaste con el racional $p$ s?
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@IanMiller Lo siento, pero no veo cómo eso ayuda... $\sin(n)$ y $\sin{n^p}$ parecen realmente diferentes
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@AlexG. No creo que haya...intuitivamente creo que para los suficientemente grandes $n$ , $\left\lbrace\sin{n^p}\right\rbrace$ acabará asumiendo todos los números de $[-1,1]$ y la secuencia no tendrá ningún límite (es decir, divergente). Y a juzgar por la conclusión del problema, esto es exactamente lo que tenemos que demostrar. Sin embargo, esto me acaba de recordar un ejercicio que dice que cuando se gira un círculo para todos los radianes integrales entonces la órbita de un punto fijo será densa en el círculo. Pero ahora estamos rotando el círculo para $n^p$ radianes. Veré si esta idea ayuda.