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Demostrar que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin(n^p)$ Divergencias para todos $p>0$

Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin(n^p)$ diverge para todos los $p>0$ . Esto debería ser sencillo pero he estado fallando... Mi último intento es el criterio de Cauchy.

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A ver si puedes demostrar que hay un número arbitrario de $n$ para lo cual $\sin (n^p) > 1/2$ por ejemplo. Se trata de una conjetura "intuitivamente cierta", pero no puedo demostrarla.

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Ni siquiera estoy convencido de que esto sea cierto... ¿Dónde has encontrado esta pregunta? ¿Hay restricciones adicionales (por ejemplo, "p es un número entero", en cuyo caso creo que tengo una prueba)?

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@D.Thomine En la página 147 de "Análisis Matemático I" de V. A. Zorich, ejercicio 5, pregunta b): "la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin{\dfrac{1}{n^p}}$ converge sólo para $p>1$ ."

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JohnB Puntos 214

No sé la respuesta a la pregunta, y creo que es un error en la propia pregunta. He aquí algunas observaciones.

Entonces, ¿cuándo es $\sum_{n \geq 0} \sin (n^p)$ ¿convergente?

  • Si $p < -1$ la serie es absolutamente convergente.

Esto se debe a que $\sin (n^p) \sim n^p$ que es el término principal de una serie absolutamente convergente.

  • Si $p \in [-1,0]$ La serie diverge a $+ \infty$ .

Si $p \in [-1,0)$ tenemos $\sin (n^p) \sim n^p$ que es positivo y el término principal de una serie divergente. Si $p = 0$ las sumas parciales son $n \sin (1)$ que va hasta el infinito.

  • Si $p \in (0,1)$ La serie es divergente.

Tenemos $(n+1)^p - n^p \sim p n^{p-1}$ . Si $n^p \equiv x$ entonces $(n+1)^p - n^p \equiv p x^{1-\frac{1}{p}}$ . En particular, como los pasos son así de pequeños, para alguna constante $C$ para todos $x$ , encontrará un $n$ tal que $n^p$ está a una distancia máxima de $C p x^{1-\frac{1}{p}}$ de $x$ . A continuación, tome $x_k := \pi/2+2\pi k$ esto te da una secuencia creciente de enteros $n_k$ tal que $\lim_{k \to + \infty} \sin (n_k^p) = 1$ .

Dado que la secuencia $(\sin (n^p))_{n \geq 0}$ no converge a $0$ La serie es divergente. Mi mejor estimación es que las sumas parciales oscilarán cada vez más, de modo que las sumas parciales no divergen a $+ \infty$ o $- \infty$ .

  • Si $p \geq 1$ es racional: la serie es divergente.

Basta con demostrar que $\sin (n^p)$ no converge a $0$ . Para cualquier $n \geq 0$ escriba:

$$n^p = 2 \pi k_n + \varepsilon_n,$$

donde $k_n$ es un número entero y $\varepsilon_n \in [-\pi, \pi)$ . Desde $p$ es racional, existe un número entero $\lambda \geq 2$ tal que $\lambda^p$ es un número entero. Tenga en cuenta que:

$$(\lambda^m n)^p = 2 \pi k_n \lambda^{mp} + \lambda^{mp} \varepsilon_n.$$

Desde $\pi$ es trascendental, $\varepsilon_n \neq 0$ para todos $n > 0$ . Por lo tanto, puedo encontrar un número entero $m$ tal que $|\lambda^{mp} \varepsilon_n| \in [\lambda^{-p}\pi,\pi]$ para que..:

$$|\sin ((\lambda^m n)^p)| \geq \sin (\lambda^{-p}\pi).$$

Por lo tanto, para cualquier $n>0$ existe $n' \geq n$ tal que $|\sin ((n')^p)| \geq \sin (\lambda^{-p}\pi)$ . Entonces puedo construir recursivamente una secuencia creciente de enteros $(n_k)_{k \geq 0}$ tal que $|\sin (n_k^p)| \geq \sin (\lambda^{-p}\pi)$ para todos $k$ y la secuencia $(\sin (n^p))_{n \geq 0}$ no converge a $0$ .

  • En general: No tengo ni idea. Puede haber fenómenos extraños si sintonizamos $p$ (véase, por ejemplo, la constante de Mill para una construcción relacionada).

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Guy Fabrice Puntos 21

Creo que es sencillo ver que el límite $\lim_{\infty}\sin{n^p}$ does mot go to $0$ (ni siquiera existe) por lo tanto la serie $$ \sum_{n=0}^{\infty}\sin{n^p}$$ diverge.

Recall

Para toda serie convergente $ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$ tenemos $a_n\to 0,~~$ como $n\to \infty$

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