Qué puntos de la curva de $5x^2+4xy+2y^2-6=0$ es la más cercana al origen.

Question

Qué puntos de la curva de $5x^2+4xy+2y^2-6=0$ es la más cercana al origen.

Me han resuelto un sinnúmero de problemas como este, pero esta es solo darme una época difícil. Voy a resolver esto con el método de Lagrange. Así que quiero minimizar $f(x,y)=x^2+y^2$ debido a la restricción $g(x,y)=5x^2+4xy+2y^2-6=0$.

Ok fácil: Encontrar $x,y$, por lo que las siguientes ecuaciones son satisfechos:

$2x+\lambda(10x+4y)=0$

$2y+\lambda(4y+4x)=0$

$5x^2+4xy+2y^2-6=0$

A la derecha? Pero, sin embargo, que yo, que me siento muy complicadas ecuaciones con la raíz de los términos para resolver, llevarme a ninguna parte. Me encantaría ver cómo solucionar esto. Gracias.

Answer 1

Tenemos: $$2x +10\lambda x +4\lambda y =0 \tag 1$$ $$2y +4\lambda x + 4\lambda y =0 \tag 2$$ Now, $x(1)+y(2)$ gives us after simplification: $$x^2+y^2=-6\lambda \tag 3$$

La solución para $x$ $y$ $(1)$ $(2)$ nos da: $$x =-\frac{2\lambda y} {1+5\lambda}$$ $$y =-\frac{2\lambda x} {1+2\lambda}$$

La solución para $\lambda$ nos da la ecuación: $$(6\lambda +1)(\lambda +1)=0$$

Entonces a la conclusión de $(3)$ con $\lambda$

Answer 2

Si el multiplicador de Lagrange no es obligatorio,

el uso de la rotación de los ejes,

$$X=x\cos t+y\sin t,Y=-x\sin t+y\cos t$$

Si la nueva ecuación de la curva es $$A'X^2+B'Y^2+F'=0$$

$$\cot2t=\dfrac{2-5}4=-\dfrac34$$ $$\iff\dfrac{\cos 2t}{-3}=\dfrac{\sin2t}4=\pm\dfrac15$$

Si $\cos2t=-\dfrac35,\sin2t=\dfrac45$

$$2A'=5(1+\cos2t)+4\sin2t+2(1-\cos2t)=?$$

$$2C'=A'(1-\cos2t)-4\sin2t+2(1+\cos2t)=?$$

$$F'=6$$

Por lo tanto, cualquier punto en la elipse puede ser $$\sqrt{\dfrac 6{A'}}\cos u,\sqrt{\dfrac 6{C'}}\sin u$$

Como el origen es invariante bajo de rotación, es necesario minimizar $$\dfrac{6\cos^2u}{A'}+\dfrac{6\sin^2u}{C'}$$

Answer 3

Con la ayuda de herramientas modernas como Wolfram Alpha, uno puede visualizar e identificar como una elipse de la curva descrita por $$5x^2+4xy+2y^2-6=0.$$ También los focos se puede determinar como se muestra a continuación:

Resulta que (combinación de los focos) que las ecuaciones de las líneas de la gran y la pequeña ejes se $$y=-2x\text{ and } y=\frac12x$$:

Los puntos más próximos (el origen) en los puntos de intersección de $y=\frac12x$, la línea de la pequeña eje, y la elipse. Así que, vamos a sustituir $\frac12x$$5x^2+4xy+2y^2-6=0$. Llegamos $5x^2+x^2+\frac12x^2=6$ o o $x=\pm\sqrt{\frac6{13}}$. Para encontrar $y$ es fácil ahora.

Answer 4

Deje $x^2+y^2=k$.

Por lo tanto, tenemos que encontrar todos los puntos de $(x,y)$ tal que $$5x^2+4xy+2y^2=6$$ for which $k$ obtiene un valor mínimo, que dice que la ecuación $$x^2+y^2=k\cdot\frac{5x^2+4xy+2y^2}{6}$$ tiene soluciones o $$(5k-6)x^2+4kxy+(2k-6)y^2=0,$$ que para $k\neq\frac{6}{5}$ da $$4k^2-(5k-6)(2k-6)\geq0$$ o $$k^2-7k+6\leq0,$$ que da $$1\leq k\leq6.$$ Desde $1<\frac{6}{5}$, podemos ver que $1$ es un valor mínimo de $k$ porque la igualdad se produce por $$-x^2+4xy-4y^2=0,$$ which gives $x=2y$ y tenemos dos puntos siguientes:

$\left(\frac{2}{\sqrt5},\frac{1}{\sqrt5}\right)$ $\left(-\frac{2}{\sqrt5},-\frac{1}{\sqrt5}\right)$

Answer 5

La función y la restricción son

$$ F = 5 x^2+ 4 xy + 2 y^2 -6 =0,\, G= x^2+y^2 -1=0 $$

como de costumbre, para encontrar LM

$$ \frac{F_x}{F_y} = \frac{G_x}{G_y} ;\, \frac{10x +4y}{4x+4y} = \frac{x}{y} $$ cruz multiplicar, simplificar, resolver por $y/x$

$$ 2y^2 +(3/2) x y - 2 y^2 =0 \rightarrow y= x/2,\, y= -2 x $$

Estas direcciones (pendiente $=\dfrac12, -2) $ a continuación se indican arbitrarias de la variación de los constantes en Mathematica parcela:

No importa lo que el independiente constantes $(1,6)$ .. estas instrucciones son las mismas. En Particular los puntos de intersección puede ser encontrado, y que significa un particular Multiplicador de Lagrange elección, por el plug-in de estas líneas para encontrar la intersección de la línea o de la elipse.