derivada de la función

Question

Tengo un problema simple de temas de cálculo. Supongamos que tenemos
$$x=at^2,\qquad y=2at$$ y quiere encontrar a $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. No se le da el ejemplo http://www.mathopolis.com/questions/a.php?id=137&ansno=957 Creo que la respuesta es cero, pero aquí es igual D ¿por qué?

Answer 1

Observar que $y^2 = 4ax$

A continuación, $2y\frac{dy}{dx} = 4a$

Por Lo $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$ [A]

A continuación, $\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} = \frac{-2a}{y^2} \frac{dy}{dx} =$ (con [Un]) $-\frac{4a^2}{y^3} = -\frac{4a^2}{8a^3t^3} = -\frac{1}{2at^3}$

Answer 2

Usted no está tomando la derivada de la $y$ con respecto al $t$, usted está tomando la derivada de la $y$ con respecto al $x$.

Ahora, por la Regla de la Cadena tenemos que $$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt},$$ o, equivalentemente, ( ∆ $\frac{dy}{dx}$ ), $$\frac{dy}{dx} = \frac{\quad\frac{dy}{dt}\quad}{\frac{dx}{dt}}.$$ Por lo tanto, desde el $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2at) = 2a$, e $\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$, luego $$\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at} = t^{-1}.$$

Ahora usted puede repetir: a partir de la Regla de la Cadena tenemos $$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \Biggl(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\Biggr)\frac{dx}{dt} = \frac{d^2y}{dx^2}\frac{dx}{dt}.$$ La solución para $\frac{d^2y}{dx^2}$, obtenemos $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\quad\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\quad}{\frac{dx}{dt}};$$ desde $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}(t^{-1}) = -t^{-2}$, tenemos: $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-t^{-2}}{2at} = -\frac{1}{2at^3},$$ cual es la respuesta D en el enlace.

Answer 3

Un enfoque ligeramente diferente, no utilizando la regla de la cadena explícitamente:

De $x=at^2$ $$t=a^{-1/2}x^{1/2}$$ so with $y=2at$ you have $$y =2 a^{1/2}x^{1/2}$$ so taking the derivative with respect to $x$ $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=a^{1/2}x^{-1/2}$$ and doing it again and reusing $x=a^2$ $$\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}=-\frac{1}{2} a^{1/2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2a t^3}. $$

Answer 4

Aquí, puede utilizar el hecho de que

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}$$

Puesto que usted está haciendo las segundas derivadas, se necesita una mayor diferenciación:

$$\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}=\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^{-1}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}$$

y esta es la fórmula que se debe utilizar (reemplace $x$ $y$ con las expresiones apropiadas).

Answer 5

No estoy seguro de qué más añadir a la explicación proporcionada en su enlace. Creo que la clave para la comprensión de esta pregunta es la declaración de $$\frac{dy}{dx}=\frac{\quad\tfrac{dy}{dt}\quad}{\tfrac{dx}{dt}},$$ que se sigue de la regla de la cadena: $$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.$$ ¿Ahora entienden por qué esto es cierto?