Deje $H^\infty$ ser el conjunto de bienes secuencias de tal manera que cada elemento en cada secuencia ha $|a_n|\leq 1$. La métrica se define como $$d(\{a_n\}, \{b_n\}) = \sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n - b_n|}{2^n}.$$ Demostrar que $H^\infty$ es un espacio métrico compacto.
Para probar esto, quiero mostrar que cada secuencia en $H^\infty$ tiene un convergentes larga. Sé que si tenemos una secuencia $\{\{a_n\}^{(k)}\}$$H^\infty$, entonces para todos los $i$, la verdadera secuencia $\{a_i^{(k)}\}$ tiene un convergentes larga, ya que está limitada por 1. De modo que podemos obtener convergente subsequence $\{a_1^{(k_j)}\}$, y, a continuación, una convergente larga de $\{a_2^{(k_j)}\}$, y continuar tomando las subsecuencias de subsecuencias hasta tenemos un convergentes larga de $(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)^{(k)}$ $n$ algún entero positivo, si dejamos de tomar las subsecuencias en el $nth$ larga; esto da una secuencia $\{x_n\}$ donde $x_n$ es el límite de la $n$th convergente larga de $\{a_n^{(k)}\}$. Idealmente, se podría mostrar que la secuencia en la $H^\infty$ converge a $\{x_n\}$.
Sé que si tenemos la $nth$ subsequence de $\{\{a_i\}^{(k)}\}$ se define de la manera descrita anteriormente, entonces para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N_1, ..., N_n$ que si $k\geq \max_{i\leq n}\{N_i\}$, entonces para $1\leq i\leq n$, $|a_i^{(k)} - x_i| < \epsilon/2n$. Eligiendo $n$ lo suficientemente grande que $\sum_{i=n+1}^\infty |a_i^{(k)} - x_i|/2^i\leq \sum_{i=n+1}^\infty 1/2^{i-1} < \epsilon/2$, podemos asegurar que $d(\{a_n\}^{(k)}, \{x_n\}) < \epsilon$. Pero el problema aquí es que para cada una de las $\epsilon$, terminamos eligiendo un convergentes diferentes larga de la primera $n$ términos (ya que tenemos que elegir el $n$, lo que determina el número de subsecuencias de subsecuencias tomamos). Cualquier idea sobre cómo proceder?
