Encontrar no continuos $F : \Bbb{R}^{\Bbb{R}} \to \Bbb{R}$ tal que si $f_n \to f$ en $\Bbb{R}^{\Bbb{R}}$ entonces $F(f_n) \to F(f)$

Question

Estoy leyendo el libro Topología general de S. Willard y me encontré con el siguiente problema. Tenemos que encontrar un ejemplo de una función no continua $F:\mathbb R^\mathbb R\to \mathbb R$ con la propiedad de que siempre que $f_n\to f$ en $\mathbb R^\mathbb R$ entonces $F(f_n)\to F(f).$ Aquí $\mathbb R^\mathbb R$ denotan un espacio con topología de producto y $\mathbb R$ está dotado de la topología habitual. Por favor alguna pista.

Editar (T.B.) El problema viene de la sección 10, concretamente como un problema que ilustra los puntos de (10.6).

Answer 1

No es una respuesta, pero este ejemplo puede resultar gracioso.

Sea $X$ sea el subespacio de $]0,1[^{]0,1[}$ formado por funciones medibles (con la topología del producto), y sea $F : X \rightarrow ]0,1[, f \mapsto \int f$ .

Entonces $F$ es secuencialmente continua por el Teorema de Convergencia Dominada, pero no continua en ninguna parte ya que es suryectiva en todo subconjunto abierto.

Answer 2

Cuanto más investigo, más sospecho que Willard ha metido la pata aquí: parece que la existencia de dicha función depende de la existencia de ciertos cardinales grandes y, por tanto, de la teoría de conjuntos de cada uno. En es posible encontrar dicha función a partir de un subespacio de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ un subespacio que funciona es $X = \Sigma_0 \cup \Sigma_1$ donde $$\Sigma_0 = \{f \in \{0,1\}^\mathbb{R}:\{x \in \mathbb{R}:f(x) = 0\} \mbox{ is countable}\}$$ y $$\Sigma_1 = \{f \in \{0,1\}^\mathbb{R}:\{x \in \mathbb{R}:f(x) = 1\} \mbox{ is countable}\}.$$ No es difícil comprobar que $\Sigma_0$ y $\Sigma_1$ son subconjuntos densos y secuencialmente cerrados de $X$ . Ahora basta con definir $F:X \to \mathbb{R}$ por $F(f) = 0$ si $f \in \Sigma_0$ y $F(f) = 1$ si $f \in \Sigma_1$ . Si $\langle f_n \rangle_n \to f \in \Sigma_i$ (donde por supuesto cada $f_n \in X$ ), hay algunos $n_0$ tal que $f_n \in \Sigma_i$ para todos $n \ge n_0$ de donde $F(f_n) = i = F(f)$ para todos $n \ge n_0$ y $\langle F(f_n) \rangle_n \to F(f)$ Así que $F$ es secuencialmente continua. Sin embargo, $F^{-1}[(-1/2,1/2)] = \Sigma_0$ no está abierto en $X$ Así que $F$ no es continua.

Si quieres intentar un ejercicio sustitutivo basado en el material de la Sección 10, encuentra una función secuencialmente continua y no continua a partir de $\mathbf{\Omega}$ a $\mathbb{R}$ es decir, una función $f:\mathbf{\Omega} \to \mathbb{R}$ tal que $f$ no es continua, pero $\langle f(x_n) \rangle_n \to f(x)$ en $\mathbb{R}$ siempre que $\langle x_n \rangle_n \to x$ en $\mathbf{\Omega}$ . Pista: Esto se puede hacer con una función que sea constante en el conjunto $\{x \in \mathbf{\Omega}:\omega_0 \le x < \omega_1\}$ .

En la notación de Willard $\mathbf\Omega$ denota el conjunto de ordinales $\{\alpha:1\le \alpha\le\omega_1\}$ con la topología de orden (es decir, los conjuntos $(\gamma,\omega_1]=\{\alpha\in\mathbf\Omega: \alpha>\gamma\}$ , $[1,\gamma)=\{\alpha\in\mathbf\Omega: \alpha<\gamma\}$ para $\gamma\in\mathbf\Omega$ forman una subbase).