Por lo que se encuentra a encontrar $$\lim_{n\to \infty}\dfrac{(n+1)^{2n}}{(n^2+1)^n}$$
Así que lo que hice es
$$\lim_{n\to \infty}\dfrac{(n+1)^{2n}}{(n^2+1)^n}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{(n^2+2n+1)^{n}}{(n^2+1)^n}=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{2n}{n^2+1}\right)^n$$
Ahora el de más a la derecha del formulario, es $e^2$? Me refiero a que no soy capaz de convencerme de que es algún tipo de función exponencial. Que me ayude.
Aviso, $$\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)^{2n}}{(n^2+1)^n}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{2n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}{n^{2n}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n}$$ $$=\lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n}$$ $$=\frac{\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}{\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n}$$ $$=\frac{\left(\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^2}{\left(\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{1/n}}$$ $$=\frac{\left(e\right)^2}{(e)^{0}}=\color{red}{e^{2}}$$
Su conjetura es correcta.
Tenemos $$ 1+\frac{2n}{n^2+1} \le 1+\frac{2n}{n^2} = 1+\frac{2}{n} $$ y así $$ \left(1+\frac{2n}{n^2+1}\right)^n \le \left(1+\frac{2}{n}\right)^n \a e^2 $$
Por otro lado, $$ 1+\frac{2n}{n^2+1} \ge 1+\frac{2n}{n^2+n} = 1+\frac{2}{n+1} $$ y así $$ \left(1+\frac{2n}{n^2+1}\right)^n \ge \left(1+\frac{2}{n+1}\right)^n = \frac{\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{\hphantom{n+1}}} \a \frac{e^2}{1} = e^2 $$
De otra manera a partir de lo que escribió $$A=\left(1+\frac{2n}{n^2+1}\right)^n$$ Take logarithms $$\log(A)=n \log\left(1+\frac{2n}{n^2+1}\right)$$ Now remember that, when $x$ is small $\log(1+x)=x+O\left(x^2\right)$. So, $$\log(A)\approx n \times\frac{2n}{n^2+1}=\frac{2n^2}{n^2+1}$$
Estoy seguro de que usted puede tomar a partir de aquí.
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