La Duplicación de la Fórmula para la Función Gamma por logarítmica derivados.

Question

Estaba leyendo Ahlfors' "Análisis Complejo" (segunda edición) y en el Capítulo 5, sección 2.4, donde estudia la Función Gamma, la prueba de Legendre de la Duplicación de la Fórmula: $$\sqrt{\pi}\Gamma(2z)=2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right).$$His deduction begins with the fact that$$\frac{d}{dz}\left(\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z+n)^2}$$(donde yo no tengo ningún problema de la deducción) y considera la suma $$ \frac{d}{dz}\left(\frac{\Gamma'\left(z\right)}{\Gamma\left(z\right)}\right)+\frac{d}{dz}\left(\frac{\Gamma'\left(z+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)}\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(z+n\right)^{2}}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(z+n+\frac{1}{2}\right)^{2}} = 4\left[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2z+2n\right)^{2}}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2z+2n+1\right)^{2}}\right] = 4\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2z+m\right)^{2}}. $$Estoy totalmente de entender estos cálculos simples, sin embargo, Ahlfors, a continuación, indica que el último de la serie es igual a $$ 2\frac{d}{dz}\left(\frac{\Gamma'(2z)}{\Gamma{2z}}\right). $$ De acuerdo a la primera ecuación, no el coeficiente de ser 4? Mi otra pregunta es, después de la ecuación diferencial se integra dos veces y, a continuación, exponentiated. De acuerdo a Ahlfors, después de la integración de dos veces y exponentiating, la expresión se convierte a $$ \Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)=e^{az+b}\Gamma(2z) $$ donde $a$ $b$ son constantes, mi pregunta es: no a la ecuación se $$\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)=e^{az+b}\left(\Gamma(2z)\right)^2$$porque el coeficiente 2 anterior el lado izquierdo de la ecuación diferencial? (O elevado a la cuarta potencia como mi primera pregunta sería sugieren?)

Sé que la duplicación de la fórmula está correctamente indicado en Ahlfors libro y sé que me falta algo, o (tal vez menos probablemente) Ahlfors falta algo.

Answer 1

Primera pregunta:
Tomamos nota de que $$\frac{d}{dz}\left(\frac{\Gamma'(\zeta )}{\Gamma(\zeta )}\right)=\frac{d}{d\zeta}\left (\frac{\Gamma'(\zeta )}{ \Gamma(\zeta )}\right)\cdot \frac{d\zeta }{dz}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(\zeta +n)^2} \cdot \frac{d\zeta }{dz}.$$ Deje $\zeta =2z$, entonces tenemos$$\frac{d}{dz}\left(\frac{\Gamma'(2z)}{\Gamma(2z)}\right) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2z +n)^2}\cdot \frac{d\zeta }{dz}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2z +n)^2}.$$ Así $$4\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2z+m\right)^{2}}=2\frac{d}{dz}\left(\frac{\Gamma'(2z)}{\Gamma(2z)}\right).$$

Segunda pregunta:
Usted necesita sólo tomar nota de que $$\frac{d}{dz}\log \Gamma(2z)=2\ \frac{\Gamma^\prime(2z)}{\Gamma(2z)}.$$ Ahlfors es correcta.

Answer 2

Como se muestra al final de esta respuesta, hemos de Euler Reflexión Fórmula: $$ \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\csc(\pi x)\etiqueta{1} $$ Como se muestra al principio de esta respuesta, $$ \prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=\frac{n}{2^{n-1}}\etiqueta{2} $$ Definir $$ f(x)=\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(x+\frac kn\right)\etiqueta{3} $$ a continuación, $f$ es log-convexa y $$ \begin{align} x\,f(x) &=x\,\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(x+\frac kn\right)\\ &=x\,\Gamma(x)\,\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma\left(x+\frac kn\right)\\ &=\Gamma(x+1)\,\prod_{k=0}^{n-2}\Gamma\left(x+\frac{k+1}n\right)\\ &=\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma\left(x+\frac1n+\frac kn\right)\\[6pt] &=f\left(x+\frac1n\right)\tag{4} \end{align} $$ Conectar $\frac xn$ a $(4)$ da $$ \frac xnf\left(\frac xn\right)=f\left(\frac{x+1}n\right)\etiqueta{5} $$ $(5)$ y registro-convexidad implica que $$ f\left(\frac xn\right)=C_n\frac{\Gamma(x)}{n^x}\etiqueta{6} $$ El uso de $(1)$ $(2)$ de rendimiento $$ \begin{align} f\left(\frac1n\right)^2 &=\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma\left(\frac kn\right)\Gamma\left(1-\frac kn\right)\\ &=\prod_{k=1}^{n-1}\pi\csc(k\pi/n)\\ &=\frac1n2^{n-1}\pi^{n-1}\tag{7} \end{align} $$ $(6)$ $(7)$ de rendimiento $$ C_n=\sqrt{n2^{n-1}\pi^{n-1}}\etiqueta{8} $$ Por lo tanto, $(6)$ $(8)$ rendimiento de Gauss Teorema de la Multiplicación $$ \prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(x+\frac kn\right) =\sqrt{n2^{n-1}\pi^{n-1}}\frac{\Gamma(nx)}{n^{nx}}\etiqueta{9} $$ La Duplicación de la Fórmula es el Teorema de la Multiplicación con $n=2$.