He aquí un razonablemente de manera directa que no requiere el desarrollo de la aritmética o límites en $\mathbb R$, o incluso aritmética $\mathbb Q$, si sólo sabemos que $\mathbb Q$ es densamente ordenado en el sentido de que para cualquier $a<b$ existe al menos una $c$$a<c<b$.
En primer lugar, puesto que ya sabemos que $\mathbb Q$ es contable, revisión de un bijection $\psi:\mathbb N\to\mathbb Q$. (Estoy asumiendo $0\notin\mathbb N$, por conveniencia notacional).
Lema. Deje $f$ ser cualquier función de $\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb Q)$. Entonces existe un $A\in\mathbb R$ tal que $A$ no está en el rango de $f$.
Prueba. Conjunto $a_0 = 0$, $b_0 = 1$, y definir una secuencia de pares de números racionales $(a_n,b_n)$ haciendo lo siguiente para $n=1,2,3,\ldots$:
- Deje $I_n = \{q\in\mathbb Q \mid a_{n-1} < q < b_{n-1}\}$$B_n = f(n) \cap I_n$.
- Si $B_n$ es no vacío, entonces vamos a $a_n=a_{n-1}$ $b_n = \psi(\min\psi^{-1}(B_n))$ - que es el primer número racional en $B_n$, de acuerdo a la enumeración $\psi$.
- De lo contrario, deje $a_n = \psi(\min\psi^{-1}(I_n))$$b_n=b_{n-1}$.
Vemos que $a_0 \le a_1 \le a_2 \le \cdots$$\cdots \le b_2 \le b_1 \le b_0$, $a_n<b_n$ por cada $n$. Ahora vamos a
$$ A = \{ q\in \mathbb Q \mid \exists n: q<a_n \} $$
Es fácil comprobar que $A$ es un Dedekind corte. Además, todos los $f(n)$ es diferente de $A$. A saber: si $B_n$ no estaba vacía, a continuación, $f(n)$ contiene $b_n$, pero $A$ no. De lo contrario, $A$ contiene un número entre el $a_{n-1}$$a_n$, pero $f(n)$ no.
Final de la prueba.
Ahora, a ver que hay una cantidad no numerable de irrationals, vamos a $g:\mathbb N\to\mathbb R$ ser cualquier contables secuencia de Dedekind representaciones de) los números irracionales. A continuación, debe encontrar un número irracional que no está en el rango de $g$.
Considere la función
$$ f(n) = \begin{cases} g(n/2) & \text{when $$ n es incluso} \\
\text{el Dedekind corte para }\psi(\frac{n+1}{2}) & \text{si $n$ es impar} \end{casos} $$
El rango de $f$ es el rango de $g$ junto con todos los números racionales. Así que cuando el Lema nos da un $A$ que no está en el rango de $f$, entonces esto $A$ (1) irracional, y (2) no en el rango de $f$, según se requiera.
