$P(z)-zQ(z)=0$ no tener solución en $\mathbb{C}$

Question

Actualmente estoy leyendo "de la Iteración de Funciones Racionales" por Alan F. Beardon y mi Pregunta es sobre el principio de $§2.6.$ que trata con puntos Fijos. Dada una función racional $R=P/Q$ donde $P,Q$ son coprime polinomios. Si $z_0 \neq \infty$ es fijo por $R$, $Q(z_0)\neq 0$ $P(z_0)=z_0Q(z_0).$ es ahora declaró que los puntos fijos de $R$ $\mathbb{C}$ son las soluciones de $P(z)-zQ(z)=0$.

Después de que se nota que este no necesita tener ningún soluciones en $\mathbb{C}$ y el contador ejemplo dado es $z \mapsto z+\frac{1}{z}$.

Hasta ahora tan bueno. Mi pregunta ahora es que no veo cómo obtener este contraejemplo con la solución dada.

Answer 1

(Ampliado a partir de la publicación de comentarios.)

Para ninguna de las soluciones que existen, $P(z)-zQ(z)$ debe ser una constante no 0 el polinomio (de lo contrario, si $\deg (P-zQ) \ge 1$ entonces se tendría una raíz por el TLC, más si $P \equiv 0$ $\forall z \in \mathbb{C}$ sería una raíz). Por lo tanto, no existen soluciones iff $P(z) = z Q(z) + c$ algunos $c \ne 0$.

El dado contraejemplo usa$Q(z)=z$$c=1\,$, por lo que el$P(z)=z\cdot z+1=z^2+1$$R(z)=\cfrac{z^2+1}{z}=z+\cfrac{1}{z}\,$.