Deje $\{X_n\}$ ser una secuencia de subconjuntos compactos de un espacio métrico $M$$X_1\supset X_2\supset X_3\supset\dotsm$. Probar que si $U$ es un conjunto abierto que contiene a $\bigcap X_n$, entonces no existe $X_n\subset U$.
Así que supongamos por contradicción que no existe $X_n\subset U$, es decir, cada $X_n$ tiene una parte fuera de $U$. Desde $\bigcap X_n$ es un subconjunto de un conjunto abierto $U$, cada elemento de la $\bigcap X_n$ tiene un balón dentro de $U$. El uso de compacidad, quiero encontrar a una apertura de la tapa para $X_n$. Pero yo no veo ninguna abra la cubierta para el uso de...
Edit: Bueno, siguiendo la sugerencia de que alguien ha escrito (y borrar), yo creo que lo tengo.
Compacto conjuntos son cerrados, por lo $X_n$ está cerrado para todos los $n$, lo $X_n'$ está abierto para todos los $n$ (donde $'$ denota el complemento.) Tenga en cuenta que $X_n$ tiene una cubierta abierta que consta de $U,X_{n+1}',X_{n+2}',\ldots$ desde $X_{n+1}'\cup X_{n+2}'\cup\ldots = (X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \ldots)' = (\bigcap X_i)'$. Desde $X_n$ es compacto, existe un número finito de subcover $U,X_{a_1}',X_{a_2}',\ldots,X_{a_k}'$ donde $a_1<a_2<\ldots<a_k$. Pero esto es una contradicción, ya que la parte de $X_n$ que es la parte de la $X_{a_k}$ fuera de $U$ no está cubierto.
