¿Se equivoca la Wikipedia al afirmar que $\emptyset$ tiene exactamente una partición, a saber $\emptyset$ ?

Question

De Wikipedia:

El conjunto vacío $\emptyset$ tiene exactamente una partición, a saber $\emptyset$ .

Creo que este ejemplo es erróneo. Una partición debe tener, por definición, celdas no vacías, por lo que $P = \{ \emptyset \}$ no está permitido. Si estoy leyendo bien la definición de $P$ el conjunto vacío no admite ninguna partición.

Answer 1

Sí, el conjunto vacío tiene una partición. Veamos qué es una partición: dado un conjunto $X$ una partición de $X$ es un conjunto $P$ de subconjuntos no vacíos de $X$ tal que cada elemento de $X$ está contenida exactamente en un elemento de $P$ .

Considere $P = \varnothing$ .

• ¿Es una colección de subconjuntos no vacíos de $\varnothing$ ? Sí, todos los elementos de $P$ son subconjuntos no vacíos de $\varnothing$ porque $P$ no tiene elementos por lo que la afirmación es vacuamente cierta.

• ¿Es cada elemento de $\varnothing$ contenida exactamente en un elemento de $P$ ? De nuevo sí, esto es vacuamente cierto.

Por lo tanto, $P = \varnothing$ es efectivamente una partición de $\varnothing$ . Sin embargo, $P = \{ \varnothing \}$ , el conjunto con un miembro, es no una partición de $\varnothing$ porque no cumple el primer requisito.

Answer 2

No es $\{\emptyset\}$ pero $\emptyset$ . Es decir, $P$ (la propia partición) no tiene elementos. Esto significa:

• Cada elemento de $P$ es no vacía (ya que no tiene ninguna).

• Mientras tanto, la unión de los elementos de $P$ es $\emptyset$ Cada elemento de $\emptyset$ está en algún elemento de $P$ (ya que $\emptyset$ no tiene ningún elemento), y cada elemento de un elemento de $P$ es un elemento de $\emptyset$ (ya que $P$ no tiene ningún elemento).

Así que $P$ es efectivamente una partición de $\emptyset$ aunque de una manera tonta.

Answer 3

Aquí hay otra manera de ver esto: recuerde que $P$ es una partición de $A$ si y sólo si existe una relación de equivalencia $E$ , de tal manera que $P=A/E$ .

Si $A=\varnothing$ entonces $A/E$ tiene que ser el conjunto vacío, ya que existe una suryección desde $A$ en $A/E$ . Por lo tanto, $A/E=\varnothing$ por lo que la única partición de $\varnothing$ es $\varnothing$ .