Encontrar un contraejemplo; mapas de cociente y subespacios

Question

Que $X$ y $Y$ dos espacios topológicos y $p: X\to Y$ un mapa del cociente.

Si $A$ es un subespacio de $X$, el mapa $q:A\to p(A)$ obtenido mediante la restricción de $p$ no necesita ser un mapa del cociente. ¿Usted me podría dar un ejemplo cuando $q$ no es un mapa del cociente?

Answer 1

Ejemplo el estándar:

Que $X=[0, 2\pi]$ y $f: X\to \mathbb{S}^1$ donde $f(x) = (\cos(x), \sin(x))$

Entonces $f$ es sobreyectiva y cerrado (¿por qué?) y un mapa del cociente. Pero la restricción de $f$ $[0, 2\pi)$ no puede ser un mapa del cociente como $[0,2\pi)$ no es homeomorfa al círculo.

Answer 2

M. B. ha dado un ejemplo que muestra que la restricción de un cociente mapa para abrir un subespacio no se necesita ser un cociente de mapa. Aquí es un ejemplo que muestra que la restricción a un saturadas también no es necesario. Restricciones para abrir un saturada conjunto, sin embargo siempre funciona.

Deje $X=[0,2],\ \ B=(0,1],\ \ A=\{0\}\cup(1,2]$ con la topología euclidiana. A continuación, la identificación de $q:X\to X/A$ es un cociente de mapa, sino $q:B\to q(B)$ no lo es.

Aquí es por qué: Como Ronald Brown escribió, $q:B\to q(B)$ es un cociente mapa iff cada subconjunto de $B$ saturada y abierta en $B$ es la intersección de a $B$ con una saturada conjunto abierto en $X$. Ahora $U=\left(\frac12,1\right]$ es abierto y saturada en $B=(0,1]$, pero si se tratara de la intersección de las $B$ y un saturadas $V$, entonces esto $V$ se cruzarían $A$ y, puesto que está saturado, se incluirá $0$, y luego de nuevo por la apertura que tuvo que contener $[0,\epsilon)$ algunos $\epsilon>0$. Para la intersección de $V$ $B$ nunca puede ser $U$.

Answer 3

Puede ser útil para tener el resultado general. La siguiente es la 4.3.1 de la Topología y de la Groupoids en la anterior notación:

Supongamos $p: X \to Y$ es una identificación del mapa, y $A$ es un subespacio de $X$.

Las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) la restricción $q: A \to p(A)$ $p$ es una identificación del mapa;

(b) cada una de las $q$saturada de conjunto que está abierto en $A$ es la intersección de a $A$ $p$saturada conjunto abierto en $X$;

(c) como para (b), pero con "abrir" sustituido por "cerrado".

Este resultado tiene la costumbre corolarios, por ejemplo, como se indicó anteriormente.

Answer 4

Otro ejemplo:

Definir $X=\mathbb{R}$, $A=(-\infty,-2\pi)\cup[-\pi/6,\pi/6]\cup(2\pi,\infty)$ y $Y=[-1,1]$.

El mapa $p:X \rightarrow Y$ de $p(x)=\sin(x)$ califica como un mapa del cociente porque es sobreyectiva, mapa continuo y abierto. El % de restricción $q:A \rightarrow p(A)=Y$no es un mapa del cociente ya que tiene el conjunto abierto $[-\pi/6,\pi/6]\subset A$ % sistema abierto no $[-\frac12,\frac12]$.