Prueba válida para $(2n+1,3n+1)=1$ ?

Question

¿Es una prueba válida para (2n+1,3n+1)=1?

$\exists \ d \in \mathbb{Z}$

1. $d | 2n+1$ significa $2n+1 \equiv 0$ (mod $d$ )
2. $d | 3n+1$ significa $3n+1 \equiv 0$ (mod $d$ )

Multiplica 1. por $3$ y 2. por $2$ :

$6n+3 \equiv 0$ (mod $d$ )

$6n+2 \equiv 0$ (mod $d$ )

Resta la segunda de la primera para obtener: $1 \equiv 0$ (mod $d$ ), lo que significa $d|1$ , lo que significa que $d=1$ .

Gracias.

Answer 1

Sí, ¡buen trabajo! Esa es una muy buena aplicación del método que describí en su pregunta previa . Obsérvese de nuevo lo sencillo que se vuelve el problema una vez que se reduce a la forma de ecuación (congruencia).

Answer 2

Supongamos que $d$ es un número entero positivo que divide a ambos $2n+1$ y $3n+1$ .
$d$ también dividiendo $3(2n+1)$ y $2(3n+1)$ .
$d$ dividiendo $(6n+3)-(6n+2)=1$ .
$d$ dividiendo $1$ .
$d=1$

Answer 3

Una prueba muy buena. Otra prueba muy elemental es utilizar el algoritmo euclidiano:

GCD(3n+1,2n+1)=
GCD(3n+1-(2n+1),2n+1)=
GCD(n,2n+1)=
GCD(n,2n+1-n)=
GCD(n,n+1)=
GCD(n,n+1-n)=
GCD(n,1)=1

en la que resté repetidamente lo más pequeño de lo más grande hasta obtener algo que pudiera evaluar.