Prueba de que el mapa que preserva el ángulo es conforme

Question

Dejemos que $\phi: S \to \bar{S}$ sea un difeomorfismo entre dos superficies en $\mathbb{R^3}$ . Este mapa se llama conformal si para todo $p \in S$ y $v_1, v_2 \in T_p(S)$ (el plano tangente) tenemos

$$\langle d\phi_p(v_1), d\phi_p(v_2) \rangle = \lambda^2 \langle v_1, v_2 \rangle_p$$

para alguna función no nula $\lambda$ .

$\phi$ se dice que que preserva el ángulo , si

$$\cos(v_1, v_2) = \cos(d\phi_p(v_1), d\phi_p(v_2)),$$

lo que entiendo que significa

$$\frac{\langle v_1, v_2\rangle}{\lVert v_1 \rVert \lVert v_2 \rVert} = \frac{\langle d\phi(v_1), d\phi(v_2)\rangle}{\lVert d\phi(v_1) \rVert \lVert d\phi(v_2) \rVert} $$

De do Carmo, "Differential Geometry of Curves and Surfaces", 4.2/14:

Demostrar que $\phi$ es localmente conforme si y sólo si preserva los ángulos.

La parte "sólo si" es obvia, pero ¿cómo se puede demostrar la parte "si" (es decir, cómo la preservación de los ángulos implica la conformidad)?

Answer 1

Dejemos que $e_1$ , $e_2$ sea una base ortonormal de $T_{p}S$ . Déjalo:

\begin{align*} \langle d\phi_{p}(e_1), d\phi_{p}(e_1) \rangle &= \lambda_1 \\ \langle d\phi_{p}(e_1), d\phi_{p}(e_2) \rangle &= \mu \\ \langle d\phi_{p}(e_2), d\phi_{p}(e_2) \rangle &= \lambda_2 \end{align*}

Ahora toma:

\begin{align*} v_1 &= e_1 \\ v_2 &= \cos\theta\ e_1 + \sin\theta\ e_2 \end{align*}

La ecuación de tu pregunta implica eso:

$$ \cos\theta = \frac{\lambda_1 \cos\theta + \mu \sin\theta}{\sqrt{\lambda_1\left(\lambda_1\cos^2\theta + 2\mu\sin\theta\cos\theta + \lambda_2\sin^2\theta\right)}} $$

Toma $\theta = \frac{\pi}{2}$ para conseguir $\mu = 0$ . Esto implica que:

$$ \lambda_1 = \lambda_1 \cos^2\theta + \lambda_2\sin^2\theta $$

O $\lambda_1 = \lambda_2$ . Por lo tanto:

\begin{align*} \langle d\phi_{p}(e_1), d\phi_{p}(e_1) \rangle &= \lambda_1 \langle e_1, e_1 \rangle_{p} \\ \langle d\phi_{p}(e_2), d\phi_{p}(e_2) \rangle &= \lambda_1 \langle e_2, e_2 \rangle_{p} \\ \langle d\phi_{p}(e_1), d\phi_{p}(e_2) \rangle &= \lambda_1 \langle e_1, e_2 \rangle_{p} \qquad (= 0) \end{align*}

Dado que ambos $\langle, \rangle_{p}$ y $\langle d\phi_{p}(), d\phi_{p}() \rangle$ son formas bilineales, lo anterior es cierto para todo $v_1, v_2 \in T_{p}S$ .

Answer 2

Desde $d\phi$ es un mapa lineal entre espacios 2d, el problema se reduce al álgebra lineal. Dado un mapa lineal $T\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$ que preserva los ángulos entre vectores, queremos demostrar que $T$ es una composición de un unitario con dilatación.

El enfoque más eficaz puede depender de su formación en álgebra lineal. Mi arma preferida son los números complejos: cualquier mapa lineal $T\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$ es de la forma $z\mapsto az +b\bar z$ . La suposición de preservación del ángulo significa que $\arg (az+b\bar z)=\phi_0\pm \arg z$ donde $\phi_0$ es fijo y el signo en $\pm$ es el mismo para todos los $z$ . Así que, o bien $\arg \frac{az+b\bar z}{z}$ o $\arg \frac{az+b\bar z}{\bar z}$ es constante. En el primer caso tenemos $b=0$ , en el segundo $a=0$ .