James Delaney papel de "Grupos de Aritmética Funciones" (Mathematics Magazine 78 (2), 83-97, 2005) puede ser digno de una mirada. Aquí están algunos de sus principales resultados.
El grupo $U$ de unidades del anillo de funciones aritméticas (pointwise además de Dirichlet y de convolución ($\ast$) como la multiplicación) puede ser expresado como la suma directa de $U = C \oplus U_M \oplus U_A$ donde $C$ es el subgrupo de las funciones escalares, $U_M$ es el subgrupo de multiplicativa funciones, y $U_A$ es el subgrupo de lo que él llama "anti-multiplicativo de" funciones definidas por $f(1) = 1$ $f(p^k) = 0$ al $p^k$ es una fuente primaria de energía con $k > 0$.
Luego, él se muestra, si $U_1 = U_M \oplus U_A$, $(U_1, \ast)$ es un múltiplo de torsión libre de grupo y por lo tanto puede ser visto como un espacio vectorial sobre los racionales. Por lo tanto, $U_M$ $U_A$ son divisibles entre subgrupos y por lo tanto son subespacios complementarios al $U_1$ es considerado como un espacio vectorial. Esto también implica que el $n$th raíz de una función multiplicativa es multiplicativo.
Finalmente, se demuestra que las funciones $\{\epsilon_{\alpha} \lambda_{\beta} | \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \beta \neq 0\}$ son linealmente independientes, donde $\epsilon_{\alpha}(n) = n^{\alpha}$ $\lambda_{\beta}(p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}) = \beta^{k_1 + \cdots + k_r}$ (una generalización de Liouville $\lambda$).
Tengo bastante parafraseado directamente de Delaney papel. Mi álgebra de fondo es demasiado deficientes para mí ser capaz de comentar sobre lo interesante (o poco interesante) estos resultados son en realidad, o lo bien que satisfacer lo que el OP está buscando. (Tal vez alguien más podría ayudar con eso?)
