$\int_0^1 \sqrt {\tan^{-1}x}\space dx=$?

Question

Cómo evaluar $$\int_0^1 \sqrt {\tan^{-1}x}\space dx\qquad ?$$ Is there an elementary expression or value for it? (though I know that there is no elementary expression for $\int \sqrt {\bronceado^{-1}x} espacio\, dx$) .

Answer 1

Usted puede tener una solución como una suma infinita

$$\int_0^1 \sqrt {\bronceado^{-1}x}\espacio dx = \frac{\sqrt {\pi }}{2}-\frac{1}{\sqrt {\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\psi^{(2\,n+1 )} \left( \frac{1}{2} \right) }{ 16^n\left( 4\n+3 \right) \left( 2\, n+1 \right) !}} \sim 0.6298233443,$$

donde $\psi(x)$ es la función digamma.

Answer 2

Mediante el uso de la fórmula http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/7/2/a/72a1058ad2087aec467af24bddcf9479.pngtenemos $\int_0^1\sqrt{\tan^{-1}x}~dx=\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{m=1}^{2^n-1}\dfrac{(-1)^{m+1}}{2^n}\sqrt{\tan^{-1}\dfrac{m}{2^n}}$