Estoy leyendo Arnol d para el auto estudio. Yo estoy luchando con esta pregunta: "Mostrar que cualquier sistema de dos partículas se mantienen en la misma línea que las conecta en el momento inicial, si comenzó en reposo". Mi argumento es el siguiente:
Conjunto de coordenadas tal que el $x$ eje puntos a lo largo de la línea, y el $y$ $z$ eje son arbitrariamente para formar un sistema de coordenadas ortonormales. Suponiendo que las partículas' las posiciones y velocidades de estar en su totalidad a lo largo de la $x$ eje, se puede aplicar cualquiera de las siguientes transformaciones de coordenadas 1. $(t, x, y, z) \to (t, x, -y, z)$ y 2. $(t, x, y, z) \to (t, x, y, -z)$. Estas transformaciones no cambio relativo de las posiciones y velocidades desde $y = z = 0$ para ambas partículas, y del mismo modo que no cambie las velocidades relativas. Las transformaciones obviamente preservar los intervalos de tiempo, y las distancias entre los eventos simultáneos, por lo que son de Galileo. Desde que las fuerzas puede depender sólo de las posiciones relativas y las velocidades, y las fuerzas son invariantes bajo transformaciones de Galileo el componente de las fuerzas que actúan sobre cada partícula a lo largo de la y, y z es cero ya que este es el único número $x$ tal que $-x = x$. Así que las partículas de las fuerzas punto a lo largo de la $x$-eje en el momento inicial. Más tarde, cuando las partículas se han movido a lo largo de la $x$-eje, de ganar algo de velocidad a lo largo de este eje, las fuerzas punto a lo largo de la $x$-eje. "Por lo tanto," las partículas estancia en el $x$ eje.
El problema con este argumento es el último "por lo Tanto,". Por ejemplo, supongamos $y(t)$ $y$- componente de la distancia relativa entre las partículas en el tiempo $t$. Entonces, sabemos que $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$ y el argumento anterior muestra que $\forall t \en \mathbb{R}, y(t) = 0 \de la tierra y'(t) = 0 \implica y"(t) =0$, but obviously one can't conclude that $s$ is constantly 0 since third derivatives may introduce changes in $s$. For example the function $y = t^3$, satisfies both conditions. This seems to suggest that the theorem is false, since if we name the particles 1 and 2, we may define $\mathbb{f}_1 = R(\mathbb{x}_2 -\mathbb{x}_1)$ and $\mathbb{f}_2= R^{-1}(\mathbb{x}_1 - \mathbb{x}_2)$ where $R$ es algunos matriz de rotación que no tenga ningún eje fijo. Estas fuerzas son invariantes bajo tiempo de translaciones, rotaciones y espacial de las traducciones, por lo tanto, son invariantes bajo todas las transformaciones de Galileo. Sin embargo, una opción adecuada para R permite que las partículas de aumento de la velocidad a lo largo de cualquier eje.
