El espacio de Hilbert con todos los subespacios cerrados

Question

¿Existe un infinito-dimensional espacio de Hilbert con todos los subespacios cerrados?

Answer 1

Si $H$ es un infinito dimensional espacio de Hilbert y $\{x_n:n\geq 1\}$ es un countably conjunto infinito de linealmente independientes elementos, a continuación, el resumen útil de estos elementos, que es un infinito dimensional subespacio, no puede ser cerrado. Si estaban cerradas, sería un espacio de Hilbert sí mismo, y de infinitas dimensiones de Hilbert espacios debe tener uncountably dimensión infinita.

Answer 2

Si $H$ es un infinito-dimensional espacio de Hilbert, a continuación, $H$ contiene $\ell^2(\mathbb{N})$ isométricamente. Y la propiedad que usted menciona no para el segundo. Por ejemplo $$ F:=\mbox{span} \{e_k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots)\;;\; k\in\mathbb{N}\}\subsetneq \overline{F}=\ell^2(\mathbb{N}). $$

Nota: este es el lowtech argumento para espacios de Hilbert. Pero Keenan Kidwell del método, que utiliza Baire, trabaja para un general de infinitas dimensiones espacio de Banach. Y ya que lo contrario es claramente cierto, obtenemos: un espacio de Banach de dimensión finita si y solo si cada subespacio cerrado.