Los ultrafiltros ¿cuándo empezó?

Question

Estoy escribiendo un artículo sobre algunas de las aplicaciones de los ultrafiltros, especialmente las de $ \mathbb {N}$ . Pensé que sería interesante incluir alguna información sobre cómo se introdujo el concepto en las matemáticas. Sospecharía que las primeras aplicaciones serían en la topología o en las álgebras de Boole, pero parece que no puedo encontrar ninguna referencia histórica. ¿Podría alguien ser tan amable de ofrecer una referencia de cuándo y cómo se usaron los ultrafiltros por primera vez, o algunas indicaciones de dónde debería empezar a cavar?

(Ninguno de los dos La teoría de los ultrafiltros" por Comfort & Negrepontis, ni "Álgebra en la Piedra - Čech Compactación" de Hindman & Strauss parecen contener muchas referencias a la historia del concepto).

Answer 1

La noción de filtro fue definida por primera vez probablemente por Henri Cartan [Cart1] (ver también [B, §6.1 ]). Sin embargo, algunos autores mencionan que la noción de base filtrante fue utilizada por L. Vietoris [V] bajo el nombre de "Kranz" antes que H. Cartan (véase [P, pág. 46], [R1] o [R2]). R. M.Dudley [D, p.76 menciona que C. Caratheodory usaba bases de filtros en [Cara1] y M. H. Stone se ocupaba de hecho de los filtros en [S].

• [B] N. Bourbaki. Elementos de Matemáticas. Topología general. Capítulos I-IV. Springer-Verlag, Berlín, 1989.
• C. Carathéodory. Sobre la delimitación de las zonas contiguas simples . Matemáticas. Ann., 73:323-370, 1913.
• H. Cartan. Teoría del filtro . C. R. Acad. Sci. Paris, 205:595-598, 1937.
• H. Cartan. Filtros y ultrafiltros . C. R. Acad. Sci. Paris, 205:777-779, 1937.
• R. M. Dudley. Análisis real y probabilidad. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
• G. Preuss. Fundamentos de la topología. Kluwer, Dordrecht, 2002.
• H. Reitberger. Las contribuciones de L. Vietoris y H. Tietze a los fundamentos de la topología general . En C. E. Aull y R. Lowen, editores, Manual de la historia de la topología general, Volumen 1, páginas 31-40. Kluwer, Dordrecht, 1997.
• H. Reitberger. Leopold Vietoris (1891-2002) . Avisos de la Sociedad Matemática Americana, 49(10):1231-1236, 2002.
• Marshall Harvey Stone. La teoría de las representaciones para las álgebras de Boole . Trans. Amer. Matemáticas. Soc., 40:37-111, 1936.
• [V] L. Vietoris. Stetige Mengen . Monatshefte f. Math., 31:545-555, 1921.

Answer 2

La existencia de los ultrafiltros fue probada por primera vez por Tarski en

Tarski, A.: Una contribución a la teoría de la medición Fundamenta Mathematicae 15 (1930), 42-50.

Esto se menciona en un artículo reciente aquí .

Answer 3

Creo que el concepto de ultrafiltro, pero no el nombre, surgió por primera vez en la obra de Stone sobre la representación topológica de las álgebras de Boole. Después de todo, los puntos del espacio de la piedra de un álgebra booleana son los ultrafiltros de esa álgebra. El nombre "ultrafiltro" fue probablemente introducido por Henri Cartan, quizás a través de Bourbaki.