Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión $m\geq 2$ $T: V\to V$ ser una transformación lineal tal que $T^{n+1}=0$ $T^{n}\neq 0$

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión $m\geq 2$ $ T: V\to V$ ser una transformación lineal tal que $T^{n+1}=0$ $T^{n}\neq 0$ algunos $n\geq1$ .A continuación, elija la afirmación correcta(s):

$(1)$ $rank(T^n)\leq nullity(T^n)$

$(2)$ $rank(T^n)\leq nullity(T^{n+1})$

Probar:

He encontrado este caso es posible si $n<m$ y tomó algunos ejemplos de $(2)$ , encontrado que es cierto, pero yo no tengo ni idea de cómo probar. Para $(1)$ no estoy consiguiendo nada.

Answer 1

$0=T^{n+1}(V)=T(T^n(V)) \implies rank(T^n)\le nullity (T)$. Pero, por supuesto, $nullity T\le nullity T^{n+1}$

Por lo que (2) es verdadera.

Ah, y (1) es verdadera también...

Para (1), ver aquí...

Answer 2

1.

Vamos $y\in Range(T)$ $\implies y=T(x)$ para algunos $x\in V$, $T^{n+1}(x)=T^{n}(T(x))=0 \implies y \in Ker T^n.$

2. Deje $y \in KerT^n \implies T^n(y)=0 \implies T^{n+1}(y)=T(T^n(y))=T(0)=0 \implies y \in KerT^{n+1}$

Answer 3

Tenga en cuenta que $f=T^n$ es tal que $f^2=0$. Por lo tanto $Im f \subseteq \ker f$ implica $rank(f) \le nullity(f) $, que es (1).