¿Por qué se puede suponer que el determinante es 0?

Question

Estoy tratando de trabajar en cómo calcular los valores propios y los vectores propios.

Empiezo con

$$Ax= \lambda x$$

Donde $A$ es un $p \times p$ matriz, $ \lambda $ es el valor propio y $x$ es el eigenvector.

Esto es lo mismo que:

$$Ax=I \lambda x$$

$$Ax-I \lambda x=0$$

$$(A-I \lambda ) x=0$$

Definimos la matriz $A$ como un $2 \times 2$ matriz:

$ \begin {bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 6 \end {bmatrix}$

Así que esto $I \lambda $ es igual a

$ \begin {bmatrix}4- \lambda & -2 \\ -3 & 6- \lambda\end {bmatrix}$

$$Det(A-I \lambda )=(4- \lambda (6- \lambda )-(-3)*-2)$$

$$Det(A-I \lambda )=24-10 \lambda + \lambda ^2 -6$$ $$Det(A-I \lambda )=18 - 10 \lambda + \lambda ^2 $$

Entonces, de la nada mi libro de texto afirma que

$$0=30 - 10 \lambda + \lambda ^2 $$

¿Cómo puedo justificar el establecimiento del determinante para $0$ ?

(No tengo un conocimiento avanzado en el análisis algebraico lineal, sólo sé cómo se usa el determinante para calcular la matriz inversa)

Answer 1

El texto no es reclamando que el determinante es $0$ . El texto está diciendo "Averigüemos para qué valores de lambda el determinante es $0$ !"

Así que el determinante es $\lambda^2 - 10\lambda + 30$ y quiere encontrar el $\lambda$ tal que sea igual a cero. ¿Qué hace usted? Usted set es igual a cero y resuelve para $\lambda$ . Es decir, se resuelve la ecuación

$$\lambda^2 - 10\lambda + 30 = 0$$

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En cuanto a por qué le interesan los valores de $\lambda$ que hacen que el determinante sea igual a $0$ Recuerda que

$$rank(A-\lambda I) = n \iff det(A - \lambda I) \neq 0$$

Por lo tanto, si $det(A-\lambda I) \neq 0$ , encontrará que el sólo solución a $(A - \lambda I)x = 0$ es $x = 0$ (debido a que el rango de la matriz es completo, por lo que el núcleo sólo contiene el $0$ vector). Esto significa que el sólo $x$ tal que $Ax = \lambda x$ es $x=0$ lo que significa que $x$ es no un vector propio.

Así que la única manera de tener vectores propios es tener el determinante de $A - \lambda I$ ser igual a cero, por eso para encontrar los valores propios se buscan los valores de $\lambda$ que hacen $det(A - \lambda I) = 0$

Answer 2

Para una matriz cuadrada como $M = (A - \lambda I)$ la ecuación $Mx = 0$ tendrá una solución no nula $x$ si y sólo si $M$ no tiene una inversa, lo que es cierto si y sólo si el determinante de $M$ es $0$ .

Answer 3

El determinante de un $n\times n$ matriz $M$ es igual a $0$ si y sólo si el rango de la matriz es menor que $n$ lo que ocurre si y sólo si el núcleo de la matriz es no vacío, lo que ocurre si y sólo si existe algún vector $x\ne0$ tal que $Mx=0$ .

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Por lo tanto, $\lambda$ es un valor propio de $A$ $\iff$ el determinante de $A-\lambda I$ es igual a $0$ .

Answer 4

He aquí una interpretación geométrica de la respuesta de Ant: el determinante te dice lo que ocurre con un volumen unitario de espacio después de aplicar tu transformación.

Por ejemplo, el mapa de identidad $I$ deja todo en paz, por lo que el volumen se mantiene igual, por lo que el determinante de $I$ es $1$ . Un múltiplo de la identidad $rI$ estira todo por un factor de $r$ en todo $p$ por lo que el determinante de $rI$ es $r^p$ .

En general, si su transformación $A$ tiene un conjunto de vectores propios $v_i$ que abarcan su espacio entonces, en dirección a $v_i$ , $A$ estira las cosas por un factor del valor propio correspondiente $_i$ y así, en conjunto, multiplica el volumen por el producto de todas las $_i$ . Así que el determinante de $A$ no es más que el producto de sus valores propios, contados por multiplicidad, es decir, según el número de vectores propios independientes que tenga cada uno.

En cuanto a la propiedad que he enunciado, de que el determinante es igual al factor por el que un volumen de espacio aumenta de tamaño: bien, puedes tomarla como definición, y luego comprobar que se corresponde con la fórmula que conoces, por ejemplo, observando lo que ocurre con la unidad $p$ -cubo de dimensiones abarcadas por sus vectores base. (¡Esta definición también explica por qué interviene en el cálculo de las inversas!)

Para hacer explícita la conexión con tu pregunta: si el determinante es igual al producto de los valores propios, entonces será cero exactamente cuando uno de ellos sea cero. $A v = v$ equivale a $(A I) v = 0$ que dice que $v$ es un vector propio de $A I$ con valor propio $0$ por lo que el determinante de $A I$ debe ser $0$ ya que es el producto de los valores propios.

Answer 5

Obsérvese que si se intenta encontrar un vector propio directamente, y se toman las coordenadas del vector propio como a,b entonces se tiene

$$Ax=\lambda x$$

$$A\begin{bmatrix}a \\b \end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix}a \\b \end{bmatrix}$$

Ampliando esa ecuación, se obtiene

4a-2b = $\lambda $ a

-3a+6b = $\lambda $ b

lo que equivale a

(4- $\lambda $ )a-2b = 0

-3a+(6- $\lambda $ )b = 0

Así que b = (4- $\lambda $ )a/2

Sustituyendo esto en la ecuación inferior

-3a+(6- $\lambda $ )(4- $\lambda $ )a/2 = 0

El factor de un

-3+(6- $\lambda $ )(4- $\lambda $ )/2 = 0

-6+(6- $\lambda $ )(4- $\lambda $ ) = 0

Y ahora volvemos a la ecuación que se derivó de poner el determinante a cero. Poner el determinante de una matriz a cero es simplemente utilizar las propiedades de las matrices para llegar a esa ecuación más rápidamente.