https://oeis.org/A001676 Número de esferas exóticas
https://oeis.org/A000396 Perfecto números
$S^7 \to 28$ = 2º número perfecto (28)
$S^{11} \to 992$ = 2 veces el 3er número perfecto (496)
$S^{15} \to 16256$ = 2 veces 4º número perfecto (8128)
$S^{27} \to 69524373504$ = 2 veces 5to número perfecto (33550336)
Estos son los únicos casos. No parece existir ninguna otra correspondencia entre los 2 conjuntos.
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Lijo
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De acuerdo a este blog (que resume los resultados de Kervaire y Milnor), el número de especies exóticas de las esferas de la dimensión $4k-1$ es $$\# \Theta_{4k-1} = R(k) \cdot \# H_{4k-1} \cdot B_{2k}/2k,$$ donde:
- $R(k) = 2^{2k-2} (2^{2k-1} - 1)$ por extraño $k$, el doble que incluso $k$;
- $H_{4k-1} = \pi^{\mathrm{st}}_{4k-1}$ $(4k-1)$th estable homotopy grupo de esferas;
- $B_{2k}$ $2k$- ésimo número de Bernoulli.
Tenga en cuenta que la imagen de la $J$-homomorphism, un subgrupo de $H_{4k-1}$, es cíclica, y su fin es precisamente el denominador de $B_{2n}/4n$, por lo que la fórmula siempre da un número entero. Por otra parte para las pequeñas $k$, el numerador del número de Bernoulli es $1$, y el J-homomorphism es surjective o tiene un pequeño índice (por ejemplo, 2), por lo que realmente conseguir una igualdad de $\# \Theta_{4k-1} = R(k)$ o hasta un factor de $2$. Para mayor $k$ esto no funciona.
Ahora resulta que el 45 primer perfecta números son de la forma $$P_p = 2^{p-1}(2^p-1)$$ donde $p$ es primo, $p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61$... Esto es, por supuesto, el número de $2 R(p)$ por encima. Así es como los dos están relacionados. Tenga en cuenta que si $k$ no es el primer, a continuación, en realidad no obtener un número perfecto. (Se sabe que todos , incluso perfecto números son de esta forma. Ahora, no me preguntes por qué, perfecto números son aún... Porque nadie sabe!)
El ejemplo que has encontrado ($S^7$, $S^{11}$, $S^{15}$ y $S^{27}$) son todos de la forma$4k-1$,$k = 2,3,4,7$. Para estos, la fórmula anterior da por ejemplo con $k=2$: $$\# \Theta_7 = R(2) \cdot \# H_7 \cdot B_4 / 4 = 2^{2 \cdot 2 - 1} (2^{2 \cdot 2 - 1} - 1) \cdot 240 \cdot 1/30 \cdot 1/4 = P_2.$$ Por el otro$k$, se pueden hacer cálculos similares.
