Una pregunta sobre un idempotente central en un anillo $R$

Question

Estoy tratando de resolver el problema:

Pregunta: En un anillo $R$ con identidad, si todo idempotente es central, entonces demuestre que para $a, b \in R$ , $$ab =1 \implies ba=1$$

Lo he hecho de la siguiente manera: $$ab=1\\ \implies b(ab)=b\\ \implies (ba)b-b=0\\ \implies (ba-1)b=0$$

Caso 1: Si $R$ no contiene ningún divisor de Cero entonces como $b \ne 0$ obtenemos $$ba-1=0 \implies ba=1$$

Caso 2: Si $R$ contiene el divisor de Ceros entonces podemos tener $$ba-1\ne0\\ \implies ba\ne1\\ \implies (ab)a\ne a$$ Pero $ab=1$ por lo que $a\ne a$ una condición absurda. Así que $ba-1=0$ o $ba=1$ .

Creo que he resuelto el problema pero no he utilizado las condiciones dadas "Todo idempotente es central". Así que creo que hay algo mal que he hecho pero no lo encuentro. Por favor, rectifique mi error si estoy equivocado y proporcione alguna pista para resolverlo.

Answer 1

He aquí una solución bastante ingeniosa (¡no sigas leyendo si quieres averiguarlo por ti mismo!)

$$ab = 1$$ $$\Longrightarrow (ba)^{2} = b(ab)a = ba$$

Así que $ba$ es un idempotente y, por tanto, central. Así que tenemos:

$$b(ba) = (ba)b$$ $$\Rightarrow ab(ba) = a(ba)b$$ $$\Rightarrow (ab)(ba) = (ab)(ab)$$ $$\Rightarrow ba = 1$$

Answer 2

Como se menciona en los comentarios, $ba\neq 1$ no implica $aba\neq a$ . En los anillos para los que existe $ab=1$ y $ba\neq 1$ ( vea aquí los ejemplos ) tiene obviamente que $aba=(ab)a=a$ .

Pero claramente, si $ab=1$ , $ba$ es al menos idempotente, por lo tanto central por sus hipótesis.

Entonces

$ba=(ba)ab =a(ba)b=abab =1$ .