¿Cómo puede el siguiente ser falsa, basada en la información acerca de las funciones continuas?

Question

Deje $f\colon\mathbb{R}\to [0,\infty)$ ser una función continua. Entonces, ¿cuál es la razón detrás diciendo que las siguientes son declaraciones falsas:

1. Existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)=\int_{-1}^{1}f(t)dt$.

2. Existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)=\frac{f(0)+f(1)}{2}$.

Yo creo que la segunda declaración debe ser cierto por el teorema del valor intermedio, pero no estoy seguro de la primera instrucción. Pero mi solución manual dice que ambas afirmaciones son falsas. Cuál debe ser la razón detrás de este razonamiento?

Answer 1

Estás en lo correcto: declaración (2) se cumple siempre por el teorema del valor intermedio, ya que $\frac{f(0)+f(1)}{2}$ entre $f(0)$$f(1)$.

La declaración (1) no es cierto para todos los $f$. Un simple contraejemplo es la función constante $f(x)=1$.

Answer 2

La primera declaración que recuerda a la de la Media del Teorema del Valor de las Integrales, pero... La Media Teorema del Valor de las Integrales dice que si $f$ es continua en a $[a,b]$, entonces no existe $x\in[a,b]$ tal que $$f(x)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt.$$ En este caso, $a=-1$$b=1$, así que podemos garantizar que exista $x\in[-1,1]$ tal que $$f(x)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 f(t)\,dt.$$ Esto es muy similar a la de la igualdad, pero sin el $1/2$. Y que sugiere que la declaración (1) es probablemente falso. Después de darse cuenta de que, no es difícil llegar con un contraejemplo.

Como para la instrucción (2), es la verdad por el Teorema del Valor Intermedio, ya que $f$ es continua.