¿Es posible que 3 vectores tengan todos correlaciones negativas por pares?

Question

Dados tres vectores $a$ , $b$ y $c$ ¿es posible que las correlaciones entre $a$ y $b$ , $a$ y $c$ y $b$ y $c$ ¿son todos negativos? Es decir, ¿es esto posible?

\begin{align} \text{corr}(a,b) < 0\\ \text{corr}(a,c) < 0 \\ \text{corr}(b,c) < 0\\ \end{align}

Answer 1

Es posible si el tamaño del vector es 3 o mayor. Por ejemplo

\begin{align} a &= (-1, 1, 1)\\ b &= (1, -9, -3)\\ c &= (2, 3, -1)\\ \end{align}

Las correlaciones son \begin{equation} \text{cor}(a,b) = -0.80...\\ \text{cor}(a,c) = -0.27...\\ \text{cor}(b,c) = -0.34... \end{equation}

Podemos demostrar que para vectores de tamaño 2 esto no es posible: \begin{align} \text{cor}(a,b) &< 0\\[5pt] 2\Big(\sum_i a_i b_i\Big) - \Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_i b_i\Big) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 + a_2)(b_1 b_2) &< 0\\[5pt] 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) - a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 &< 0\\[5pt] a_1 b_1 + a_2 b_2 - a_1 b_2 + a_2 b_1 &< 0\\[5pt] a_1 (b_1-b_2) + a_2 (b_2-b_1) &< 0\\[5pt] (a_1-a_2)(b_1-b_2) &< 0 \end{align}

La fórmula tiene sentido: si $a_1$ es mayor que $a_2$ , $b_2$ tiene que ser mayor que $b_1$ para que la correlación sea negativa.

Del mismo modo, para las correlaciones entre (a,c) y (b,c) obtenemos

\begin{equation} (a_1-a_2)(c_1-c_2) < 0\\ (b_1-b_2)(c_1-c_2) < 0\\ \end{equation}

Es evidente que estas tres fórmulas no pueden mantenerse al mismo tiempo.

Answer 2

Sí, pueden hacerlo.

Suponga que tiene una distribución normal multivariante $X\in R^3, X\sim N(0,\Sigma)$ . La única restricción en $\Sigma$ es que tiene que ser semidefinido positivo.

Así, tomemos el siguiente ejemplo $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & -0.2 & -0.2 \\ -0.2 & 1 & -0.2 \\ -0.2 & -0.2 & 1 \end{pmatrix} $

Sus valores propios son todos positivos (1,2, 1,2, 0,6), y puede crear vectores con correlación negativa.

Answer 3

Comencemos con una matriz de correlación para 3 variables

$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ p & 1 & r \\ q & r & 1 \end{pmatrix} $

la definición no negativa crea restricciones para las correlaciones entre pares $p,q,r$ que puede escribirse como

$$ pqr \ge \frac{p^2+q^2+r^2-1}2 $$

Por ejemplo, si $p=q=-1$ los valores de $r$ está restringido por $2r \ge r^2+1$ que obliga a $r=1$ . Por otro lado, si $p=q=-\frac12$ , $r$ puede estar dentro de $\frac{2 \pm \sqrt{3}}4$ gama.

Respondiendo a la interesante pregunta de seguimiento de @amoeba: "¿Cuál es la menor correlación posible que pueden tener los tres pares simultáneamente?"

Dejemos que $p=q=r=x < 0$ Encuentra la raíz más pequeña de $2x^3-3x^2+1$ que le dará $-\frac12$ . Tal vez no sea sorprendente para algunos.

Se puede hacer un argumento más fuerte si una de las correlaciones, digamos $r=-1$ . De la misma ecuación $-2pq \ge p^2+q^2$ podemos deducir que $p=-q$ . Por lo tanto, si dos correlaciones son $-1$ La tercera debería ser $1$ .

Answer 4

Una simple función de R para explorar esto:

f <- function(n,trials = 10000){
  count <- 0
  for(i in 1:trials){
    a <- runif(n)
    b <- runif(n)
    c <- runif(n)
    if(cor(a,b) < 0 & cor(a,c) < 0 & cor(b,c) < 0){
      count <- count + 1
    }
  }
  count/trials
}

En función de n , f(n) comienza en 0, se hace distinto de cero en n = 3 (con valores típicos en torno a 0,06), y luego aumenta a alrededor de 0,11 por n = 15 después de lo cual parece estabilizarse:

Por lo tanto, no sólo es posible que las tres correlaciones sean negativas, sino que no parece ser terriblemente infrecuente (al menos para distribuciones uniformes).