¿Por qué es que si cada fila de una matriz de sumas de dinero a 1, entonces las filas de la matriz inversa sumas a 1?

Question

¿Por qué es que si cada fila de una matriz de sumas de dinero a $1$, en las filas de su matriz inversa de la suma a$1$?

Por ejemplo, considere la posibilidad de

$$A=\begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 3/4 & 1/4 \end{pmatrix}$$

entonces su inversa es

$$A^{-1}=\begin{pmatrix} -3/5 & 8/5 \\ 9/5 & -4/5 \end{pmatrix},$$

que satisface la condición. Es verdad para cada una de dichas matriz?

Answer 1

Deje $v = (1, 1, \ldots , 1)'$ ser un vector columna de todos los $1$s. A continuación, las filas de $A$ agregar a $1$ es equivalente a decir $Av = v$. Así que cuando $A$ es invertible, vamos a tener $$A^{-1}v = A^{-1}Av = v$$ Thus $Un^{-1}$ has rows summing to $1$ as well. (Note that $$ no siempre va a ser invertible.)