¿Es correcta mi prueba? (distancia mínima entre conjuntos compactos)

Question

Estoy trabajando con el siguiente problema de forma Ahlfors Complejos de Análisis de texto:

"Vamos a $X$ $Y$ ser compacto establece en un espacio métrico $(S,d)$. Demostrar que no existe $x \in X,y \in Y$ tal que $d(x,y)$ es un mínimo."

Mi intento:

Definir $E:=\{d(x,y): x \in X,y \in Y \}$. Vamos a probar que $E \subset \mathbb R$ es compacto.

En primer lugar vamos a demostrar que $E$ son los siguientes:

$X$ es compacto, y por lo tanto es limitada. Es decir, no existe $x_0 \in X,r_1>0$ tal que $d(x,x_0)<r_1$ para todos los $x \in X$. $Y$ también es compacto, y del mismo modo no existe $y_0 \in Y,r_2>0$ tal que $d(y,y_0)<r_2$ todos los $y \in Y$.

Ahora, para cualquier $d(x,y) \in E$, tenemos $$d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y,y_0)<r_1+d(x_0,y_0)+r_2 =:M.$$ This proves that $E$ es acotada.

Y ahora vamos a probar que $E$ también está cerrado:

Deje $a_n=d(x_n,y_n)$ ser la secuencia en $E$, que es convergente en $\mathbb R$. Vamos a probar que su límite de $a:=\lim_{n \to \infty} a_n$$E$.

$(x_n)$ es una secuencia en el conjunto compacto $X$, por lo que admite un convergentes larga $(x_{n_k}) \to \bar{x}$. $(y_{n_k})$ es una secuencia en el conjunto compacto $Y$, y por lo tanto se admite convergente subsequence $(y_{n_{k_l}}) \to \bar{y}$. La secuencia de $(x_{n_{k_l}},y_{n_{k_l}})_l$ converge a $(\bar{x},\bar{y})$ en el espacio del producto, y la continuidad de la métrica da $a=\lim_{l \to \infty} a_{n_{k_l}}=\lim_{l \to \infty} d(x_{n_{k_l}},y_{n_{k_l}})=d(\bar{x},\bar{y})$. Esto demuestra que $a \in E$ como se requiere.

En resumen me han demostrado que $E$ es compacto, y de un conocido teorema tiene un mínimo.

Es esto una prueba de ACEPTAR? Creo que la integridad de $S$ es innecesario.

Gracias.

Answer 1

La fronteridad de $E$ no es realmente el problema. Sólo necesitamos $E$ a ser delimitada por debajo, tal es el caso: es el conjunto de los valores de una función positiva.

La parte principal es demostrar que $E$ es cerrado. Y el hecho de que un limitado subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ contiene su mínimo no es un teorema famoso: es sólo el hecho de que el infimum de un conjunto es un punto límite de la misma y contiene por lo tanto, si el conjunto es cerrado.

Answer 2

Sólo quería mencionar que su caracterización de la compacidad no es del todo correcta. Compacto es equivalente a cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n$, pero no es cierto en general. En el caso de la métrica de los espacios,de un conjunto es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.

Sin embargo, en este caso es suficiente para ver que $E$ es cerrado como Plop menciona en su respuesta, así que está bien. Otra forma de verlo es considerar la función de $d:S\times S\rightarrow\mathbb{R}$, que es continuo, por lo que deben tomar un mínimo en el conjunto compacto $X\times Y\subset S \times S$.