Objetos gratis en $\mathrm{Set}(G).$

Question

¿Cuáles son los objetos libres en la categoría de $G$-juegos para un grupo de $G$?

Después de una considerable deliberación (no estoy muy claro), estoy casi seguro de que son las $G$-conjuntos de $X$ que $G$ actúa libremente, que es de tal manera que sólo se $e$ revisiones de los elementos en $X$. Puedo probarlo-casi.

Supongamos $X$ $G$- en la que $G$ actúa libremente. Echemos un transversales $B$ del conjunto de órbitas $X/G$. Voy a demostrar que $X$ es un servicio gratuito de objeto en la categoría de $G$, e $B$ es su base. Deje $Y$ ser arbitraria $G$, y deje $f:B\to Y$ ser cualquier función. Supongamos $\tilde f:X\to Y$ $G$- conjunto de morfismos extender $f$. Deje $x\in X$. Entonces no existe $b\in B$ $g\in G$ tal que $gb=x.$ $$\tilde f(x)=\tilde f(gb)=g\tilde f(b)=gf(b).$$ Por lo tanto la extensión de $\tilde f$ es único.

Para la existencia de $\tilde f$, es suficiente para comprobar que la anterior es una definición muy buena, o que no dependen de la elección de $g$. Supongamos $gb=x$$g'b=x$. A continuación,$b=g^{-1}g'b$, y desde $G$ actúa libremente en $X$, debemos tener $g=g'.$ por lo Tanto la extensión de $\tilde f$ existe y es única, y por lo $X$ es un servicio gratuito de objeto en la categoría de $G$-conjuntos.

Ahora supongamos $X$ es un servicio gratuito de objeto en la categoría de $G$-conjuntos. Supongamos por un momento que el siguiente lema es verdad.

Lema. Si $X$ es un servicio gratuito de objeto en la categoría de $G$-series, sus bases son exactamente las transversales de $X/G.$

Con este lema puedo mostrar que $G$ debe actuar libremente en $X$. Para dejar $x\in X.$, Entonces existe una única, pero creo que no lo necesitan) $b\in B$ $g\in G$ tal que $gb=x.$ Supongamos por un $h\in G$ tenemos $hx=x.$ Esto significa que $$g^{-1}hgb=b.$$ Now let $f:B\to G$ be any function. Since $B$ is a basis, we can extend it uniquely to a $G$-set morphism $\tilde f$. ($G$ acts on itself by multiplication.) This implies that $$g^{-1}hgf(b)=f(b).$$ But $f(b)$ can be chosen arbitrarily, which means that $g^{-1}hg$ must fix every element of $G$, and so $h=e.$

Así que lo que necesita hacer es probar el lema. En realidad, solo me falta la "exactamente". Sólo necesito saber que si $X$ es un servicio gratuito de objeto en la categoría de $G$-series, su base debe ser transversal de $X/G.$

Supongamos $X$ es un servicio gratuito de objeto. Una transversal es un subconjunto de a $X$ que no es exactamente un elemento de cada órbita. Creo que la singularidad es análoga a la independencia lineal en un espacio vectorial, y la existencia es análoga a la que abarca todo el espacio. Me puede mostrar la singularidad (pero como he dicho, no creo que necesite en realidad). Supongamos $B$ es una base de $X$. Supongamos que hay $b,b'\in B$ tal que $b'=gb$ algunos $g$. De nuevo, teniendo en cuenta las funciones de $f:B\to G$, que puedo mostrar que $g=e.$

Pero no veo la manera de mostrar que todas las órbitas deben tener un representante en $B$. (Por favor, tenga en cuenta que en este punto todavía no he probado ese $G$ actúa libremente en $X$.) Ya que esto es análogo al hecho de que un espacio vectorial base debe generar todo el espacio, he mirado en la prueba de que, el que nos generan un subespacio por la razón, cociente y demostrar que el cociente es $0$. Se puede hacer aquí? No sé cómo definir un cociente de una $G$-set. O tal vez sólo tengo que demostrarlo de alguna otra manera?

Answer 1

Lo siento, yo sólo he leído la primera línea de su pregunta.

Si $X$ es un conjunto, la libre $G$en $X$ $G \times X$ $G$- acción $g(h,x)=(gh,x)$. Esto es debido a que para cada $G$-establecer $Y$ cada mapa $\alpha : X \to Y$ de los conjuntos se extiende únicamente a un $G$-mapa de $G \times X \to Y$ través $(g,x) \mapsto g\, \alpha(x)$.

Un $G$es libre en el sentido de la categoría de la teoría de la fib es libre en el sentido habitual: $\Rightarrow$ sigue desde $G$ actúa libremente en $G \times X$. Para $\Leftarrow$ asume que $G$ actúa libremente en un conjunto $X$. Deje $B$ ser un sistema de representantes de $G/X$. A continuación, $B \hookrightarrow X$ se extiende a una $G$-mapa de $G \times B \to X$, que es surjective por la construcción. También es inyectiva: Si $gb=g'b'$, $b=b'$ (por la definición de $B$) y, a continuación, $g=g'$ (ya que la acción es gratis).

Que bueno que te pregunté esto, que yo no lo sabía hasta ahora!

(Más en general, si $T : C \to C$ es una mónada en una categoría, se puede considerar que la olvidadizo functor $\mathsf{Mod}(T) \to C$, y la izquierda adjunto está dado por $x \mapsto (T(x),\mu_x)$. Por ejemplo, cuando se $G$ es un monoid objeto en $C$ $C$ tiene productos, a continuación, $T(X) = G \times X$ es una monada y $\mathsf{Mod}(T)=\mathsf{Mod}(G)$ es la categoría de objetos de $C$ junto con una izquierda $G$-acción, para abreviar $G$-objetos. La libre $G$-objeto en un objeto $X \in C$ por lo tanto $G \times X$ con las obvias $G$-acción.)

Answer 2

Quiero demostrar que si una $G$-establecer $X$ es un servicio gratuito de objeto en la categoría de $G$-sets, entonces su base $B$ ha de generar la $X$. En otras palabras,

$$\langle B\rangle=\bigcup_{b\in B}\mathrm{orb}(b)=X.$$

Digamos que una relación de equivalencia $\sim$ $X$ es una congruencia cuando por alguna $x,x'\in X$ $g\in G$ tenemos $$a\sim x'\implies gx\sim gx'.$$

Es fácil demostrar que las cosas habituales hold: el núcleo de una $G$-morfismos es una relación de congruencia; cociente $G$conjuntos bien definidos; el primer teorema de isomorfismo sostiene.

Ahora vamos a $X$ ser libre, con base $B$. Es claro que la relación $\sim$ $X$ definido por $$x\sim x'\iff(x=x'\vee x,x'\in\langle B\rangle)$$

es una congruencia en $X$. Es una relación que los contratos de $\langle B\rangle$ a un solo elemento y no toca el resto de los elementos. Vamos a denotar que el único elemento por $0$. Deje $\tilde f:X\to X/\sim$ ser la canónica $G$-epimorphism. Ahora claramente por cualquier $b\in B$,$\tilde f(b)=0.$, Pero la función de $\tilde f':X\to X/\sim$ la asignación de $0$ a cada elemento de a $X$ $G$- morfismos. $\tilde f$ $\tilde f'$ son iguales cuando se limita a $B$, y por lo tanto deben ser iguales, ya que $B$ es una base. Por lo tanto para cualquier $x,x'\in X$ debemos tener $x\sim x'$, por lo que cada elemento de a $X$ pertenece a $\langle B\rangle.$