Si $a_1 + 2a_2, a_2 + 2a_3, a_3 + 2a_4 \dots$ converge, demuestre que $a_1, a_2, \dots$ converge

Question

Dejemos que $a_1, a_2, \dots$ sea una secuencia de números reales tal que la secuencia $a_1 + 2a_2, a_2 + 2a_3, a_3 + 2a_4 \dots$ converge. Demostrar que la secuencia $a_1, a_2, \dots$ también debe converger.

He intentado reescribir el $a$ en términos de la primera secuencia convergente. Dejando que $$b_1 = a_1 + 2a_2, \ b_2 = a_2 + 2a_3, \ b_3 = a_3 + 2a_4, \dots$$ tenemos $$a_2 = \frac{b_1 - a_1}{2},$$ $$a_3 = \frac{b_2 - a_2}{2} = \frac{2b_2 - b_1 + a_1}{4}, $$ $$a_4 = \frac{b_3 - a_3}{2} = \frac{4b_3 - 2b_2 + b_1 - a_1}{8}, \\ \dots$$

No tengo experiencia en análisis, así que intenté usar sólo la definición de convergencia y $\lim_{n \to \infty}a_n$ . Mi definición de convergencia es para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $|b_n - c| < \epsilon$ para $n \ge N$ . Sin embargo, aunque puedo obtener un límite de magnitud en la suma alternada de $b_1, b_2, \dots$ Todavía no estoy seguro de cómo lidiar con el número finito de $b_1, \dots, b_{N-1}$ que no están dentro de $\epsilon$ de $c$ . Creo que las secuencias de Cauchy podrían ayudar pero tampoco tengo experiencia con ellas.

Answer 1

Dejemos que $\epsilon>0$ . Entonces encontramos $N$ tal que $|b_n-c|<\frac12\epsilon$ para todos $n\ge N$ . Considere $m>N$ y que $r=\frac{|a_m-\frac13c|}\epsilon$ . Entonces podemos demostrar por inducción que $$ \frac{\left|a_{m-k}-\frac13c\right|}\epsilon\ge 2^k\left(r-\frac12\right)+\frac12$$ para $0\le k\le m-N$ . El paso esencial aquí es observar que $$ \left|a_{n-1}-\frac13c\right|=\left|b_{n-1}-c-2\Bigl(a_n-\frac13c\Bigr)\right|\ge 2\left|a_n-\frac13c\right|-\left|b_{n-1}-c\right|.$$

En particular, $$ \frac{\left|a_{N}-\frac13c\right|}\epsilon\ge 2^{m-N}\left(r-\frac12\right)+\frac12.$$ Con $\epsilon$ y $N$ arreglar, $m$ debe estar acotado si $r>\frac12$ . Por lo tanto, $r<1$ para todo lo que sea suficientemente grande $m$ En otras palabras $a_n\to \frac13c$ .