Particionar un número natural $n$ para obtener la secuencia de productos máxima de sus sumandos

Question

Supongamos que tenemos un número natural $n \ge 0$.

Dados números naturales $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ tales que

• $k\le n$
• $\sum_i \alpha_i = n$

¿Cuál es el valor máximo que $\Pi_i \alpha_i$ puede tomar?

Estoy bastante seguro de que hay un teorema que me dice el resultado, pero no lo puedo encontrar. Seguramente un límite superior es $n^k$ pero estoy buscando un límite superior real. Estoy bastante seguro de que el límite superior debería ser $n^2$, pero no sé cómo podría demostrarlo.

Answer 1

Usando el hecho de que para $x$ real, la función $x(k-x)$ aumenta constantemente hasta alcanzar un máximo en $x=k/2$, y luego disminuye, podemos ver que para un máximo, ninguna parte puede ser $\ge 5$. (Si $k \ge 5$, siempre podemos hacerlo mejor dividiendo como $a +(k-a)$, donde $a$ es el entero más cercano a $k/2.)

Nota también que la división $6=3+3$ da un producto mayor que $6=2+2+2$, y que no importa si dividimos $4$ como $2+2$ o no. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad podemos asumir $3$ y $2$, y no más de dos $2$.

Por lo tanto, si $n$ es divisible por $3$, usar todos $3$. Si $n \equiv 2 \pmod{3}$, usar un $2$ y el resto $3$. Si $n\equiv 1\pmod {3}$, y $n>1$, usar dos $2$ (o uno $4$) y el resto $3$.

Answer 2

Dado que el producto máximo de dos enteros positivos con una suma fija ocurre cuando los factores son lo más iguales posible, lo mismo es cierto si hay más de dos factores (considera igualar dos de los sumandos/factores para aumentar el producto cuando sea posible).

Si simplemente queremos un límite superior realista para un número fijo $k$ de factores/sumandos, sin preocuparnos por la divisibilidad, entonces considera la versión real del problema y el producto máximo $(n/k)^k$.

Si luego queremos elegir el entero $k \ge 1$ que maximiza eso, podemos mirar el logaritmo del producto para simplificar:

$$ k \ln(n/k) = k (\ln n - \ln k) $$

Un poco de cálculo muestra que esta es una función unimodal con respecto a $k$ cuyo pico ocurre alrededor de $k = n/e$.

Answer 3

Hardmath ¿estás seguro de que el pico de esta función ocurre alrededor de $k = n/e$?

Creo que ocurre alrededor de $k = \pi$, supongo que esto también explicaría intuitivamente por qué funciona el razonamiento de André Nicolas, no lo probé, pero parece que está tomando partes enteras de tal manera que la suma de las diferencias de cada parte con $pi$ es lo más pequeña posible.