Si $V$ es un reasonnable modelo de la categoría (es decir, combinatoria, etc), y $C$ una pequeña categoría, dotado de un Grothendieck topología $\tau$, $\tau$- modelo local de las estructuras en la categoría de $Fun(C^{op},V)$ (un proyectiva, así como la versión de un inyectiva versión). Usted puede tener una mirada en este papel de Clark Barwick (ver también la sección 4.4 de José Ayoub del libro para el hypercomplete versiones). En el caso de $V$ es el modelo estándar de la estructura de simplicial conjuntos, tenemos la costumbre homotopy la teoría de conjuntos en $\infty$-groupoids, mientras que, si $V$ es el Joyal estructura del modelo, se obtiene la homotopy la teoría de conjuntos en $(\infty,1)$-categorías. Si se considera el hypercomplete versión, a continuación, estos modelos de estructuras se comportan de la manera habitual; por ejemplo, si por otra parte el topos de poleas en $C$ tiene bastantes puntos, una de morfismos de simplicial presheaves en $C$ será un débil equivalencia para la hypercomplete $\tau$-local Joyal estructura del modelo si y sólo si su stalkwise es un débil equivalencia para el Joyal la estructura del modelo.
Usted puede también considerar el caso en que $V$ es el Rezk modelo de estructura para $(\infty,n)$-categorías para obtener la homotopy la teoría de conjuntos en $(\infty,n)$-categorías (por $0\leq n\leq \infty$) para obtener el $(\infty,n+1)$-topos de pilas en $(\infty,n)$-categorías (lo que esto significa). Alternativamente, usted puede también considerar el caso en que $V$ es el modelo de la categoría de Segal $n$-categorías, y algo más cerca de los Simpson y Hirschowitz teoría de la mayor de las pilas. También es posible considerar el caso en que $C$ es un simplicial categoría y $\tau$ es un Grothendieck la topología en $C$ (en el sentido de Toën-Vezzosi-Lurie, ver HAG I y Lurie libro), y obtener pilas de $(\infty,n)$-categorías por encima de cualquier $(\infty,1)$-topos.
