Determinar si dos grupos son isomorfos

Question

Estoy leyendo "Un primer curso en álgebra" y allí, estoy tratando de resolver los ejercicios, pero hay algo que no entiendo. ¿Se entiende que si dos grupos son isomorfos o no? Por ejemplo, es un ejemplo que se le pregunta si los grupos dados son isomorfos:

$\Bbb Z_8 \times \Bbb Z_{10} \times \Bbb Z_{24}$ y $\Bbb Z_4 \times \Bbb Z_{12} \times \Bbb Z_{40}$

$\Bbb Z_4 \times \Bbb Z_{18} \times \Bbb Z_{15}$ y $Z_3 \times \Bbb Z_{36} \times \Bbb Z_{10}$

¿Los grupos dados son isomorfos? ¿Cómo puedo decidir esto? Todo lo que puedo pensar ahora es que $8\cdot 10\cdot 24=4\cdot 12\cdot 40$ y $4\cdot 18\cdot 15=3\cdot 36\cdot 10$. ¿Qué puedo hacer más?

Gracias

Answer 1

Usted puede utilizar el teorema fundamental de finitely generado abelian grupos, que establece que cada uno de los grupos puede ser expresado de forma exclusiva (hasta el isomorfismo) como el producto de los ciclos de la orden el poder de los números primos y comparar los factores y el primer poderes de los ciclos de cualquiera de las dos descomposiciones para determinar si son isomorfos, hasta el orden de sus factores.

Al hacerlo, recordemos que $\;\mathbb Z_{m} \times \mathbb Z_n\;$ es cíclico y $$\;\mathbb Z_{mn} \cong \mathbb Z_m\times \mathbb Z_n \;\;\text{if and only if}\;\; \gcd(m, n) = 1$$

Por ejemplo, tomemos $\mathbb Z_8 \times \mathbb Z_{10} \times \mathbb Z_{24}$, y la descomposición de esto nos da:

$$\mathbb Z_8 \times \color{blue}{\bf \mathbb Z_{10}} \times \color{red}{\bf \mathbb Z_{24}} \quad \cong \quad \mathbb Z_8 \times \color{blue}{\bf (\mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_5)} \times \color{red}{\bf (\mathbb Z_{3}\times \mathbb Z_{8})} \cong {\bf \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{3}\times \mathbb Z_5 \times \mathbb Z_{8}^2}\tag{1}$$

Ahora compara esto a la descomposición se obtiene por la expresión que se compare con $(1)$: $$\Bbb Z_4 \times \Bbb Z_{12} \times \Bbb Z_{40} \quad \cong \quad \mathbb Z_4 \times (\mathbb Z_3 \times \mathbb Z_4)\times (\mathbb Z_8\times \mathbb Z_5) \cong {\bf \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_4^2 \times \mathbb Z_5 \times \mathbb Z_8}\tag{2}$$

Tenga en cuenta que hay cíclica de los factores de $(1), (2)$ no son equivalentes hasta el orden de su aparición, por lo tanto no isomorfos.

Answer 2

No es el teorema del resto Chino, que, de una forma, dice que

$$\mathbb Z/n\cong \mathbb Z/k\times \mathbb Z/l$$

si y sólo si $n=kl$ $k$ $l$ son coprime. Se puede entender el fenómeno como una versión de la estructura del teorema de finitely generado abelian grupos. Mediante el isomorfismo por encima de usted será capaz de responder a la pregunta anterior. Tal vez quieras probar y probar.

Sugerencia: Para una dirección explícitamente escribir un mapa que puede ser demostrado ser un isomorfismo. En el otro sentido se podría argumentar que con la existencia de elementos de un cierto orden.