Límites de pointwise de funciones continuas

Question

¿Podría ayudarme a probar la siguiente?

Deje S sea el conjunto de la función que son el límite del pointwise de funciones continuas, $\{h _n\} \subset S$ % máximo $_{x \in [0,1]} |h_n(x)|< A_n$y $\sum A_n < \infty$. Entonces $\sum h_n \in S$.

Necesito algo como esto para terminar de resolver un problema de funciones continuas convergentes a una función creciente.

Gracias

Answer 1

Cada una de las $h_n$ se puede aproximar pointwise por una secuencia $(h_{n,k},k\geqslant 1)$ de funciones continuas. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $|h_{n,k}(x)|\leqslant A_n$ todos los $k$ (si no es el caso que nos truncate).

Deje $g_k:=\sum_{j=1}^kh_{k,j}$, una función continua. Vamos a ver que $g_k\to h:=\sum_nh_n$ pointwise. Fix$x\in [0,1]$$\varepsilon>0$. Fix $N$ tal que $\sum_{j\geqslant N}A_j<\varepsilon$. Considere la posibilidad de un entero $k\geqslant N$. Entonces $$|g_k(x)-h(x)|\leqslant \sum_{j\geqslant k+1}A_j+\sum_{j\geqslant N}A_j+\sum_{j=1}^N|h_{n,k}(x)-h_j(x)|,$$ por lo tanto $$\limsup_{k\to +\infty}|g_k(x)-h(x)|\leqslant 2\varepsilon.$$

Las funciones que puede ser aproximada pointwise por funciones continuas son llamados Baire es una clase de funciones (puede ser útil saber que para otras propiedades).