Me encontré con el siguiente, mientras que la lectura de Ikeda & Watanabe libro de ecuaciones diferenciales Estocásticas y los procesos de Difusión, en la página 163-164
Al principio de la frase $$f(X_t)- f(X_0) - \int_0^t Af(s,X)\, ds \in \mathcal{M}^{c,loc}_2 $$ parece extraño, ya que $f \in C^2_b$ implica que el $f, \partial_i f, \partial_i \partial_j f $ están delimitadas las funciones, por lo que en principio el local de martingala debe estar acotada (para cada una de las $t$), los cuales nos da, que es una verdadera martingala, y deberíamos tener $$f(X_t)- f(X_0) - \int_0^t Af(s,X)\, ds \in \mathcal{M}^{c}_2 $$
Pero luego, pensándolo bien, no sabemos si los términos de $\alpha^i_k(s,X)$ son acotados, entonces, debemos reconocer que la primera frase era cierto.
Ahora, cuando nos trasladamos a la otra expresión, podemos leer que (después de la corrección de algunos errores). $$M^{(l)}_i(t) = X^i(t\wedge \sigma_l) - X^i(0) - \int_0^{t \wedge \sigma_l} \beta^i(s,X)\, ds \in \mathcal{M}^c_2$$
Pero la única cosa que sabemos es que el $X_{s \wedge \sigma_l}$ es un conjunto acotado, las funciones de $\alpha^i_k(s,X), \beta^i(s,X)$ todavía puede ser ilimitado.
Por lo que parece que $$M^{(l)}_i(t) = X^i(t\wedge \sigma_l) - X^i(0) - \int_0^{t \wedge \sigma_l} \beta^i(s,X)\, ds \in \mathcal{M}^{c,loc}_2$$
Lo que va mal?
