Problema
Tome este (fácil) problema como un ejemplo:
Un astrónomo está interesado en la medición de la distancia en años luz, desde su observatorio a un estrella distante. Aunque el astrónomo tiene una técnica de medición, él sabe que, a causa de el cambio de las condiciones atmosféricas y de error normal, cada vez que se realice una medición no el rendimiento de la distancia exacta, sino sólo una estimación. Como resultado, el astrónomo planes para hacer una serie de las mediciones y, a continuación, utilizar el valor promedio de estas mediciones como su valor estimado de la distancia real. Si el astrónomo cree que los valores de las mediciones son independientes e idénticamente distribuidas al azar variables que tienen un común decir d (la distancia real) y un común de la varianza de 4 (años luz), ¿cuántas mediciones deben hacer para estar razonablemente seguro de que su estimado de distancia con una precisión de 0.5 año luz?
Enfoques
A primera vista, lo que me parecía más razonable, fue el uso de la Chebyshev de la desigualdad de la siguiente manera:
$X_{i}$ = distancia en l.y. observado en el experimento $i$
$E(X_{i})=\mu =d$
$Var(X_{i})=\sigma^{2} = 4$
La Media De La Muestra:
$E(\bar{X}_{n})=\mu =d$
$Var(\bar{X}_{n})=\frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{4}{n}$
Así que por la desigualdad de Chebyshev, tenemos:
$P(\left | \bar{X}_{n}-d \right | <0.5)>1-\frac{4}{n \cdot 0.5^{2}} \\ = 1- \frac{1}{n}\cdot \frac{4}{0.5^{2}} \\ = 1- \frac{16}{n}$
Así que si tenemos en cuenta la frase "razonablemente seguro" como $0.95$, $1- \frac{16}{n} = 0.95$ al $n= 320$.
Así que yo respondería: $n=320$ es suficiente.
Pero, Usando el Teorema del Límite Central , tenemos que:
$P(\left | \bar{X}_{n}-d \right |\leq 0.5) \\ = P\left \{ \sqrt{n}\frac{\left | \bar{X}_{n}-d \right |}{2} \leq \frac{\sqrt{n}}{4}\right \}\\ =P\left ( \left | Z \right | \leq \frac{\sqrt{n}}{4} \right ) \\ \approx \Phi \left ( \frac{\sqrt{n}}{4} \right )-\Phi \left (- \frac{\sqrt{n}}{4} \right ) \\ =2\Phi \left ( \frac{\sqrt{n}}{4} \right )-1$
donde el símbolo $\Phi(z)$ denota la función de distribución acumulativa de una variable normal estándar. Por lo tanto, $n$ debe ser, aproximadamente, el valor tal que:
$2\Phi \left ( \frac{\sqrt{n}}{4} \right )=0.975$
En otros términos $\frac{\sqrt{n}}{4}$ es, aproximadamente, igual a la $97.5$% de los cuantiles de la distribución normal estándar. El uso de la tabla normal, nos encontramos con que $\frac{\sqrt{n}}{4} = 1.96$ e lo $n = (1.96 \cdot 4)^{2} = 61.466$, lo $n$ debe ser igual a $62$, que es muy diferente del resultado que terminó, que es $320$.
Preguntas
¿Cuál es el razonamiento detrás de esto? Esta fue una prueba que yo tenía que resolver, pero he utilizado el Chebychev ineq. enfoque en lugar de el teorema del límite central (usado por mi profe) y los resultados son muy diferentes. Es correcto? Me estoy perdiendo algo importante?
Cualquier aclaración que se aprecia.
