función $e^x$ como cociente de dos polinomios

Question

Mostrar que la función $e^x$ no puede ser expresado como un cociente de dos polinomios. Una solución podría ser esta:

Supongamos a continuación $e^x=\frac{P(x)}{Q(x)}$ $\quad \frac{e^x}{P(x)} = \frac{1}{Q(x)}$

Sabemos que $e^x \quad$ tiende a infinito más rápido que cualquier poder de $x$. Así que si hacemos

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x}{P(x)} = \infty $ y

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{Q(x)} = 0 $

llegamos a una contradicción.

¿Crees es una buena solución?

y... ¿alguien podría sugerir una solución mejor?

Answer 1

Depende de lo que se puede asumir, pero si está permitido el uso estándar de diferenciación de las reglas - a continuación, un poco agradable de la prueba podría ser la siguiente:

Asumir, en busca de una contradicción, de que existe polinomios $P$$Q$, de tal manera que $e^x = \frac{P(x)}{Q(x)}$.

Entonces por differenting ambos lados, obtenemos $e^x = \frac{P'(x) Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$ por el cociente de la regla.

Por lo tanto,$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P'(x) Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$.

Reorganización de ambos lados nos da $P(x) Q(x) = P'(x) Q(x) - P(x)Q'(x)$.

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Ahora tienes dos polinomios en la izquierda y la derecha. Usted debe ser capaz de llegar a una contradicción al considerar el grado de los polinomios en cada lado.

Answer 2

Si desea más formales de razonamiento, puede utilizar la derivada. Deje $n,m$ ser los grados de los polinomios $P_n(x),Q_m(x)$, respectivamente: $$e^x=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$$ A continuación, $e^x\,Q(x)=P(x)$ y se puede diferenciar de ambos lados para obtener: $$e^x\,Q_m(x)+e^x\,Q'_{m-1}(x)=P'_{n-1}(x)$$ así, en el lado izquierdo tiene un nuevo polinomio del mismo grado como $Q_m$, $R_m(x)=Q_m(x)+Q'_{m-1}(x)$ y: $$e^x\,R_m(x)=P'_{n-1}(x)$$ Observar que el grado del polinomio en el lado derecho disminuye.

La repetición de este proceso $n$ veces, finalmente, obtener un polinomio $S_m(x)$ tal forma que: $$e^x\,S_m(x)=0$$ lo cual es una contradicción.

Answer 3

Para cualquier dos % polynmials $P(x)$y $Q(x)$, el limits$$\lim_{x\to+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\qquad\text{and}\qquad\lim_{x\to-\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}$$are identical in $\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$. But$$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\qquad\text{and}\qquad\lim_{x\to-\infty}e^x=0.$$