$\lim _{n \rightarrow \infty }a_{n}=\sqrt{a_{n-2}a_{n-1}}$ , $a_1=1, a_2=2$

Question

Se me pidió para encontrar el límite de:

$a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}$

$a_1=1, a_2=2$

Parece como si la secuencia es constante a partir de n=4 y su valor es $a_n=\sqrt{2\sqrt{2}} -\forall{n>3}$

Me gustaría hacer una doble comprobación de que hice lo correcto.

Gracias!

Answer 1

La secuencia no es constante, es: $$1, 2, 2^\frac{1}{2}, 2^\frac{3}{4}, 2^\frac{5}{8}, 2^\frac{11}{16}, \ldots$$ Sugerencia: Si usted quiere saber lo que converge a echar un vistazo a la secuencia de los exponentes: $$0, 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{11}{16}, \ldots$$ y averiguar lo que es regla recursiva que es y lo que converge a.

Answer 2

Tomar registros de ambos lados y definir $b_n = \log{a_n}$. Entonces

$$2 b_n - b_{n-1}-b_{n-2} = 0$$ $$b_0=0$$ $$b_1=\log{2}$$

Este es un coeficiente constante diferencia de ecuaciones con solución de $b_n=A r^n$donde $r$ satisface

$$2 r^2-r-1=0$$

con las soluciones de $r_+ = 1$$r_-=-1/2$. Así

$$b_n = A + B \left (-\frac{1}{2} \right )^n$$

con

$$A+B=0$$ $$A-\frac{1}{2} B = \log{2}$$

El $$b_n=\frac{2}{3} \log{2} \left [ 1 + \left (-\frac{1}{2} \right )^{n+1} \right]$$

Entonces volviendo a la secuencia original:

$$a_n = 2^{\frac{2}{3}\left [ 1 + \left (-\frac{1}{2} \right )^{n+1} \right]}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 2^{2/3}$$