Mostrar este conjunto es cerrado

Question

Como parte de una prueba que estoy escribiendo para el análisis, necesito mostrar el siguiente conjunto es cerrado:

$F_n = \{x \in \mathbb{R} \, | \,x \ge 0, ~~ 2-\frac{1}{n} \le x^2 \le 2+\frac{1}{n}\}$.

Mi enfoque actual es mostrar que $F_n = \overline{F_n}$. I. e. Quiero mostrar que una acumulación punto de $x$$F_n$$F_n$. Mi idea es la prueba por contradicción, así que supongo $x \in (F_n)^c \Rightarrow 2 - \frac{1}{n} > x^2$ o $x^2> 2+\frac{1}{n}$. Yo trate de usar el hecho de que $x$ es una acumulación punto de llegar a una contradicción, pero no se parece a hacerlo. Hay otro método que es más intuitivo? O estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Idea: la de tomar cualquier secuencia $\;\{x_m\}_{m\in\Bbb N}\subset F_n\;$ . Ya que es un almacén de secuencia, Bolzano-Weierstrass Teorema da una convergente subsequence $\;\{x_{m_k}\}_{k\in\Bbb N}\;$, decir $\;x_{m_k}\xrightarrow[k\to\infty]{}x\;$ , y desde

$$\forall\,k\;,\;\;2-\frac1n\le x_{m_k}^2\le 2+\frac1n\iff \sqrt{2-\frac1n}\le x_{m_k}\le\sqrt{2+\frac1n}\implies$$

$$\implies \sqrt{2-\frac1n}\le x\le\sqrt{2+\frac1n}\implies x\in F_n$$

(Observar que ambos lados de la doble desigualdad anterior se constante wrt $\;m\;$$\;m_k\;$ !)

Answer 2

Fix $n$ y deje $x$ estar en la adherencia de las $F_n$. El punto de $x$ es por lo tanto el límite de una secuencia $(x_p)_p$$F_n$. Cada una de las $x_p$ satisface las desigualdades definición de $F_n$, por lo que, pasando el límite de $p$ tiende a $+\infty$, el punto de $x$ les satisface así, mostrando así que el $x\in F_n$. Esto muestra que la adhesión de los $F_n$ está incluido en $F_n$. El reverso de la inclusión a ser evidentes, la adhesión de $F_n$ es igual a $F_n$, e $F_n$ es cerrado de hecho.

Answer 3

la raíz cuadrada es continua por lo que la imagen inversa de a $[2-\frac1n,2+\frac1n]$ es cerrado.